Educational Codeforces Round 106 (Rated for Div. 2) | CF1499

E

一个暴力是显然的，$f(i,j,k)$ 表示当前已经使用 $a$ 的前 $i$ 位，$b$ 的前 $j$ 位，最后一位是 $a$ 还是 $b$ 的。然后 $O(n^2)$ 枚举起点跑下去即可。为啥这个是对的呢？考虑每次转移都是加 $1/0$，显然之后在约束之下的转移本质不同。

第一眼我的想法是从如何对 $2$ 个整串入手，手玩了一下过程，显然考虑增量法构造，然后在写了这个 $dp$ 后再证了正确性。由此可见先猜想后证明的重要性。但其实这个 $dp$ 的状态设计是很显然的，考虑 $LCS$ 的那个 $dp$ 不难想到。抑或是通过增量法，从上一个状态的本质不同加以限制转移到当前状态的本质不同。值得学习！

但我们发现，起点仅仅只是关系到初始值，但期间的转移是固定的。也就是说，对于 $f(r,R)$ 它的起点可能很多，但是 $f(r,R)\to f(r+1,R) \ or \ f(r,R+1)$ 的是否可以转移都是不被起点的选择所影响的。于是，不难类矩阵加速的图论意义一样（限制转移多少次）类比到图上，发现即是一个多源的 DAG 拓扑问题，然后对 $2$ 个串都不能为空多加一维限制即可。然后就做完了。

在 debug 中可能会出现非超级源点所连的链的末尾是 $T$，虽然起点不能从超源获取权值，但是也需要跑，因为其间的点可能有权值，不然会影响 $T$ 的答案转移。

注意有点卡常，于是不能像其他 $dp$ 做法一样使用 $[1,3]$ 来限定是否某方为空串，发现永远不会有末尾是 $T$ 但状态中表示只选 $S$ 的情况，于是只是用 $[0,1]$，表示当前是否只选择了当前末尾的这一类（即不是末尾的那个字符串选的是个空串）即可。

998244353 莫 #define int long long

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define ADD(x,y) ((x+y>=mod)?x+y-mod:x+y)
using namespace std;
const int N=1002,mod=998244353;
bool bs;
char s[N],t[N];
int n,m,ans,S,T,tot,id[N][N][2][2];
int v[N*N*2*2],du[N*N*2*2];
queue<int>q;
vector<int>g[N*N*2*2];
bool bt;
void solve() {
	q.push(S); v[S]=1;
	for(int i=2;i<=tot;i++) if(!du[i]) q.push(i); 
	while(!q.empty()) {
		int x=q.front(); q.pop();
//		if(x==T) 
//		cout<<x<<" "<<v[x]<<'\n';
		for(int y:g[x]) {
			v[y]=ADD(v[x],v[y]);
			--du[y];
//			cout<<du[y]<<" "<<y<<'\n';
			if(!du[y]) q.push(y);
		}
	}
}

signed main() {
	cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false);
//	cout<<abs(&bs-&bt)/1024.0/1024.0;
	cin>>s+1>>t+1;
	n=strlen(s+1); m=strlen(t+1);
	S=++tot;
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<=m;j++) {
			for(int k=0;k<=1;k++) {
				for(int kk=0;kk<=1;kk++) {
					id[i][j][k][kk]=++tot;
				}
			}
			if(i>=1) {
				g[S].pb(id[i][j][0][0]);
				++du[id[i][j][0][0]];
			}
			if(j>=1) {
				g[S].pb(id[i][j][1][0]);
				++du[id[i][j][1][0]];
			}
		}
	}
	T=++tot;
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<=m;j++) {
//			if(i>=1) {
//				g[id[i][j][0][2]].pb(T);
//				++du[T];
//			}
			if(i>=1&&j>=1) {
				g[id[i][j][0][1]].pb(T);
				++du[T];
				g[id[i][j][1][1]].pb(T);
				++du[T];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<=m;j++) {
			if(i>=1) {
				if(i+1<=n&&s[i]!=s[i+1]) {
//					for(int k=1;k<=3;k++) {
//						if(k==2) continue ;
//						g[id[i][j][0][k]].pb(id[i+1][j][0][k|1]);
//						++du[id[i+1][j][0][k|1]];
//					}
					g[id[i][j][0][0]].pb(id[i+1][j][0][0]);
					++du[id[i+1][j][0][0]];
					if(j>=1) {
						g[id[i][j][0][1]].pb(id[i+1][j][0][1]);
						++du[id[i+1][j][0][1]];
					}
				}
				if(j+1<=m&&s[i]!=t[j+1]) {
//					for(int k=1;k<=3;k++) {
//						if(k==2) continue ;
//						g[id[i][j][0][k]].pb(id[i][j+1][1][k|2]);
//						++du[id[i][j+1][1][k|2]];
//					}
					g[id[i][j][0][0]].pb(id[i][j+1][1][1]);
					++du[id[i][j+1][1][1]];
					if(j>=1) {
						g[id[i][j][0][1]].pb(id[i][j+1][1][1]);
						++du[id[i][j+1][1][1]];
					}
				}
			}
			if(j>=1) {
				if(i+1<=n&&t[j]!=s[i+1]) {
//					for(int k=2;k<=3;k++) {
//						g[id[i][j][1][k]].pb(id[i+1][j][0][k|1]);
//						++du[id[i+1][j][0][k|1]];
//					}
					g[id[i][j][1][0]].pb(id[i+1][j][0][1]);
					++du[id[i+1][j][0][1]];
					if(i>=1) {
						g[id[i][j][1][1]].pb(id[i+1][j][0][1]);
						++du[id[i+1][j][0][1]];
					}
				}
				if(j+1<=m&&t[j]!=t[j+1]) {
//					for(int k=2;k<=3;k++) {
//						g[id[i][j][1][k]].pb(id[i][j+1][1][k|2]);
//						++du[id[i][j+1][1][k|2]];
//					}
					g[id[i][j][1][0]].pb(id[i][j+1][1][0]);
					++du[id[i][j+1][1][0]];
					if(i>=1) {
						g[id[i][j][1][1]].pb(id[i][j+1][1][1]);
						++du[id[i][j+1][1][1]];
					}
				}
			}
		}
	}
//	cout<<g[0].size()<<" "<<du[0]<<'\n';
	solve();
	cout<<v[T];
//	v[1]=1;
//	dfs(1);
//	cout<<v[T];
	return 0;
} 

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本文作者：F x o r G
本文链接：https://www.cnblogs.com/xugangfan/p/16625311.html
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