CF1625E1 Cats on the Upgrade (easy version)

刚刚学完 whk 时无聊看了下提交记录，发现这道富有启发意义的题目。

首先，注意到这实际上就是个序列的 《括号树》，拿来做就行，$f_i$ 为以 $i$ 结尾的合法括号串数量，$f_i=f_{L_i-1}+1$，然后再做一遍前缀和，相减求出以区间 $[x,y]$ 为结尾的数量，但是我们发现会算重，具体的，算重了 $[1,x-1]$ 取后缀，$[x,y]$ 取前缀所组合成的合法串数量。

目前题目还有一个性质没用到，就是保证每次询问 $[x,y]$ 合法。那么，显然一定是以 $x-1$ 为右端点的合法括号序列与以 $x$ 为左端点的合法括号序列的组合。因为不可能出现一个合法的由这 $2$ 个不合法的组成。若有，显然存在一个 $p\in [x,y]$ 为右括号，需要匹配 $q\in [1,x-1]$，那么 $[x,y]$ 不合法。

首先 $f_{x-1}$ 即后缀合法括号序列，那么还要有 $[x,y]$ 的前缀合法然后相乘才对，于是我们期望找到一个能表示 $[x,y]$ 的前缀合法括号序列。

考虑对于每个前缀合法括号序列，一定是 $[x,p]$，那么因为 $[x,y]$ 合法，显然 $[p+1,y]$ 也合法。

于是，每个前缀合法括号序列都存在唯一一个以 $y$ 为结尾，开头在 $[x,y]$ 的合法括号序列与之对应。（双射）

于是，我们现在期望通过 $f$ 求后者。

发现倘若以 $y$ 为右端点，但左端点在 $[1,x-1]$ 的合法括号序列，它一定可以划分为 $s:[p,x-1]+[x,y]$。否则，若左端点在 $[x,y]$ 则一定无法划分，即不会计入 $f_{x-1}$，但 $2$ 部分都会计入 $f_y$。

综上，减去 $f_{x-1}*(f_y-f_{x-1})$。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int rd() {
	int f=1,sum=0; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return sum*f;
}
const int N=(int)(3e5+5);
char s[N];
int n,m,f[N],st[N],sum[N],top;
signed main() {
	n=rd(); m=rd(); scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(s[i]=='(') st[++top]=i;
		else {
			if(!top) continue ;
			f[i]=f[st[top]-1]+1; --top;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		sum[i]=sum[i-1]+f[i];
//		printf("%d ",f[i]);
	}
	while(m--) {
		rd(); int x=rd(),y=rd();
		printf("%lld\n",sum[y]-sum[x-1]-f[x-1]*(f[y]-f[x-1]));
		// [1,x-1]*[x,y] ,[x,y]=[y,x]
	}
	return 0;
}

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本文作者：F x o r G
本文链接：https://www.cnblogs.com/xugangfan/p/16599775.html
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