dfs序 括号序 欧拉序 树上莫队 虚树建立 傻傻分不清

括号序

进加一次，出加一次，显然最后得到的序列只有 $2n$ 个点。

void dfs(int x) {
	in[x]=++tot;
	for(y) dfs(y);
	out[x]=++tot;
}

显然我们希求将树上路径表示为区间，然后用莫队抑或是其它数据结构维护。

对于 $y\in T_x$ 的情况就是上图，我们发现只要取 $[in_x,in_y]$ 即可达到只有路径上的点被加了一次，其他要么没加要么加 $2$ 次。因此，我们只保留加 $1$ 次的点。也就是说每次更新一个点就取反它的是否加入状态。

否则，显然我们取 $[out_x,in_y]$，再补上 $LCA$ 的贡献即可。

欧拉序

用来求 LCA 以及求的方式能够证明某些结论。

void dfs(int x) {
	id[x]=++tot; v[tot]=x;
	for(y) {
		dfs(y);
		v[++tot]=x;
	}
}

我们可以猜想 $x,y$ 的 LCA 就是 $v[id_x,id_y]$ 深度最浅的点。

下文假定 $id_x<id_y$/

不难发现命题等价于记 $LCA(x,y)=d$，$d$ 的祖先不在区间内，$d$ 的兄弟不在区间内，$d$ 出现在区间内。

考虑 $id_{fa_d}<id_x<id_y$ ，且要再次出现 $fa_d$ 要等到 $d$ 回溯完后才出现。所以一定不会出现。

考虑在 $d$ 之前遍历的兄弟无影响（因为要之前的遍历完才可能遍历到 $d$），之后的不会在区间取到，因为要 $d$ 回溯上去再遍历兄弟，所以兄弟不在区间内。

若 $d=x$，显然正确。因为显然 $[id_x,id_y]$ 都在 $x$ 子树内。最浅的一定是 $x$。

若不是，则 $x,y$ 分居 $d$ 的不同子树，那么要实现不同子树的遍历一定需要回溯到 $d$ 再遍历下去，所以一定存在 $d$。

综上，这样是对滴。

多点 LCA 结论！

考虑点按 $dfs$ 序升序排列，又因为 $LCA$ 具有可并性，相邻的并一下就好了。

考虑 $ST$ 表求 $LCA$ 的过程，发现若干个小区间并起来显然是大区间的。所以求 $dfs$ 序最小的和最大的的 $LCA$ 即可。

虚树

显然，虚树的形态与根的选取有关/fn，见 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/40647/C

https://www.luogu.com.cn/blog/Rainbowsjy/fou-xu-yao-nao-zi-di-jian-xu-shu

里面有一个结论。

为啥要按 dfs 序排列然后取相邻的 LCA？这一步是不是等价于求两两之间的 LCA？

考虑若 $dfn_x<dfn_y$ 则上文的欧拉序也有 $id_x<id_y$。

考虑若 $dfn_x<dfn_y<dfn_z$，那么 $LCA(x,z)=[id_x,id_z]$，显然 LCA 要么出现在 $[id_x,id_y]$ 要么出现在 $[id_y,id_z]$，所以相邻的取一下一定可以取到。

类比到多个点的情况，不难发现则将大区间划分成若干个相邻点的小区间。

那么解决完两两 LCA 之后，是不是要根据祖先后代关系建边。

tips:俺经常在想会不会求完 LCA 之后导致 LCA 的 LCA 没有在关键点中。但实际上两两求是不会的。考虑反证，若存在 $d_1,d_2$ 满足 $d_1$ 是 $x_1,y_1$ 的 LCA，$d_2$ 同理，那么按理说不存在 $D$，满足 $LCA(d_1,d_2)=D$，且存在两个原先的关键点的 LCA 为 $D$，但显然考虑 LNOI LCA 那道题，$y_1,x_2$ 的 LCA 一定是 $d_1,d_2$ 的 LCA。。。所以这样两两 LCA 是正确的！

也就是说只有 1 个求出来后的 LCA，满足深度最小，且囊括了所有关键点。

一种方法是增量法：https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree_Tree.html

但是太麻烦了！！！！！！

考虑我们求出所有关键点后，如何构造一棵树。

是不是 dfs？然后父子连边。

但显然我们不可能 dfs，但不难发现虚树上的 dfs 序的相对大小关系跟原树的 dfs 序的相对大小关系是等价的。

于是，我们只要按 dfs 序升序排，无非就剩 2 种情况。

1. $x,y$ 在原树上是自上而下的关系，直接连边。

2. $LCA(x,y)$ 将 $x,y$ 分在 2 棵子树。因为它们 dfs 序相邻，所以一定是 $x$ 是虚树的叶子，y 要直接连 $LCA\to y$。

综上，我们只需要连 $LCA\to y$ 的边，且根据我们的 tips，不难发现对于连边到的点显然都是处理后的关键点（1 情况显然，2 情况根据 tips，发现 $x,y$ 无论原先关键点，还是新增的，其 $LCA$ 一定也是关键点）。

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本文作者：F x o r G
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