dfs序 括号序 欧拉序 树上莫队 虚树建立 傻傻分不清
括号序
进加一次，出加一次，显然最后得到的序列只有 \(2n\) 个点。
void dfs(int x) {
in[x]=++tot;
for(y) dfs(y);
out[x]=++tot;
}
显然我们希求将树上路径表示为区间，然后用莫队抑或是其它数据结构维护。
对于 \(y\in T_x\) 的情况就是上图，我们发现只要取 \([in_x,in_y]\) 即可达到只有路径上的点被加了一次，其他要么没加要么加 \(2\) 次。因此，我们只保留加 \(1\) 次的点。也就是说每次更新一个点就取反它的是否加入状态。
否则，显然我们取 \([out_x,in_y]\)，再补上 \(LCA\) 的贡献即可。
欧拉序
用来求 LCA 以及求的方式能够证明某些结论。
void dfs(int x) {
id[x]=++tot; v[tot]=x;
for(y) {
dfs(y);
v[++tot]=x;
}
}
我们可以猜想 \(x,y\) 的 LCA 就是 \(v[id_x,id_y]\) 深度最浅的点。
下文假定 \(id_x<id_y\)/
不难发现命题等价于记 \(LCA(x,y)=d\)，\(d\) 的祖先不在区间内，\(d\) 的兄弟不在区间内，\(d\) 出现在区间内。
考虑 \(id_{fa_d}<id_x<id_y\) ，且要再次出现 \(fa_d\) 要等到 \(d\) 回溯完后才出现。所以一定不会出现。
考虑在 \(d\) 之前遍历的兄弟无影响（因为要之前的遍历完才可能遍历到 \(d\)），之后的不会在区间取到，因为要 \(d\) 回溯上去再遍历兄弟，所以兄弟不在区间内。
若 \(d=x\)，显然正确。因为显然 \([id_x,id_y]\) 都在 \(x\) 子树内。最浅的一定是 \(x\)。
若不是，则 \(x,y\) 分居 \(d\) 的不同子树，那么要实现不同子树的遍历一定需要回溯到 \(d\) 再遍历下去，所以一定存在 \(d\)。
综上，这样是对滴。
多点 LCA 结论！
考虑点按 \(dfs\) 序升序排列，又因为 \(LCA\) 具有可并性，相邻的并一下就好了。
考虑 \(ST\) 表求 \(LCA\) 的过程，发现若干个小区间并起来显然是大区间的。所以求 \(dfs\) 序最小的和最大的的 \(LCA\) 即可。
虚树
显然，虚树的形态与根的选取有关/fn，见 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/40647/C
https://www.luogu.com.cn/blog/Rainbowsjy/fou-xu-yao-nao-zi-di-jian-xu-shu
里面有一个结论。
为啥要按 dfs 序排列然后取相邻的 LCA？这一步是不是等价于求两两之间的 LCA？
考虑若 \(dfn_x<dfn_y\) 则上文的欧拉序也有 \(id_x<id_y\)。
考虑若 \(dfn_x<dfn_y<dfn_z\)，那么 \(LCA(x,z)=[id_x,id_z]\)，显然 LCA 要么出现在 \([id_x,id_y]\) 要么出现在 \([id_y,id_z]\)，所以相邻的取一下一定可以取到。
类比到多个点的情况，不难发现则将大区间划分成若干个相邻点的小区间。
那么解决完两两 LCA 之后，是不是要根据祖先后代关系建边。
tips:俺经常在想会不会求完 LCA 之后导致 LCA 的 LCA 没有在关键点中。但实际上两两求是不会的。考虑反证，若存在 \(d_1,d_2\) 满足 \(d_1\) 是 \(x_1,y_1\) 的 LCA，\(d_2\) 同理，那么按理说不存在 \(D\)，满足 \(LCA(d_1,d_2)=D\)，且存在两个原先的关键点的 LCA 为 \(D\)，但显然考虑 LNOI LCA 那道题，\(y_1,x_2\) 的 LCA 一定是 \(d_1,d_2\) 的 LCA。。。所以这样两两 LCA 是正确的！
也就是说只有 1 个求出来后的 LCA，满足深度最小，且囊括了所有关键点。
但是太麻烦了！！！！！！
考虑我们求出所有关键点后，如何构造一棵树。
是不是 dfs？然后父子连边。
但显然我们不可能 dfs，但不难发现虚树上的 dfs 序的相对大小关系跟原树的 dfs 序的相对大小关系是等价的。
于是，我们只要按 dfs 序升序排，无非就剩 2 种情况。
-
\(x,y\) 在原树上是自上而下的关系，直接连边。
-
\(LCA(x,y)\) 将 \(x,y\) 分在 2 棵子树。因为它们 dfs 序相邻，所以一定是 \(x\) 是虚树的叶子，y 要直接连 \(LCA\to y\)。
综上，我们只需要连 \(LCA\to y\) 的边，且根据我们的 tips，不难发现对于连边到的点显然都是处理后的关键点（1 情况显然，2 情况根据 tips，发现 \(x,y\) 无论原先关键点，还是新增的，其 \(LCA\) 一定也是关键点）。
