P3690 【模板】动态树（Link Cut Tree）疑惑与解答
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1
splay 是二叉树，要满足权值性质。在 LCT 中满足的性质是权值为深度，即一棵 splay 维护的联通块满足中序遍历后的序列在原树中是一条链。（深度递增），splay 的树根的 fa 指向的是原树中这条链实实在在的父亲，所以我们在一系列操作中都要维护这个性质，才能实现原树中自下而上跳链。
2
rotate，因为 \(x\) 是 \(y\) 的 ident(x) 子，所以 \(y\) 是 \(x\) 的 ident(x)^1 子，然后本来 \(x\) 的这个儿子被 \(y\) 占了，又因为这个儿子在 \(y\) 的 ident(x) 子树，所以这个儿子是 \(y\) 的 ident(x) 子。
3
\(splay\) 看父亲和父亲的父亲都是为了降低复杂度。总之就是，旋 \(1\) 次就到根了。否则的话，看是否 \(3\) 点共线，是的话就先旋父亲，不是就对 \(x\) 旋 \(2\) 次。效果上都是对链的叉化。
4
为什么
// 回顾一下代码
inline int Access(int x) {
int p;
for (p = 0; x; p = x, x = f[x]) {
Splay(x), ch[x][1] = p, PushUp(x);
}
return p;
}
考虑需要在 access 过程中满足一系列性质。
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access 操作只是在原树中拉一条从根到 x 的实链，也就是说 \(x\) 不该有右儿子。
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当我们每次 splay(x) 时，此时的 fa[x] 对应原树 x 所在 splay 集合构成的一条链 的父亲，也就是说 \(x,p\) 现在都是它们对应 splay 的树根，且有 \(fa[p]=x\)，那么是不是可以在原树上看成上下接壤的 2 条链，自然深度关系就出来了。
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为什么左儿子都可以不管呢？因为每次合并 2 个 splay 时相当于合并 2 条深度递增的链（有 \(fa[p]=x\) 保证，也就是 p 这个 splay 构成的链一定在 x 这个 splay 构成的链之下。性质）。那么只需要考虑右儿子即可。
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原先 \(x\) 的右儿子现在自然成为了它所在 splay 的根了。那么是否满足它的父亲（即 x），与它在原树上也是父子关系呢？考虑原先没有实变虚，那么显然在原树上是这样一条链 \(ls[x]\to x \to rs[x]\)，\(ls,rs\) 指左右儿子中序遍历后构成的，那么显然在 \(rs[x]\) 中存在一个点 \(q\)，满足在原树上 \(dep[q]=dep[x]+1\)，不然不可能原先在同一个 splay。于是这样就好办了，实变虚后，\(rs[x]\) 单独对应树上一条链，且里面存在一个点的深度为树根父亲深度 \(+1\)，自然满足 splay 的树根的 fa 指向的是原树中这条链实实在在的父亲 这个性质了。
连续两次 Access 操作时，第二次 Access 操作的返回值等于这两个节点的 LCA.
因为这个 p 是最后一个穿过虚边的位置。
然后第一次 access 之后会把 x 到根打成实链，第二次 access y 会在 lca(x,y) 的时候经过最后一条虚边。
p 都知道吧？模拟一下就可以知道。那么 lca(x,y) 是不是一定在实链中？那么从 y 一直 splay 上去，是不是最后 2 个 splay 合并完就是在 lca(x,y) 初，因为 access(x) 把 x 与根放在一个 splay，再从这个 splay 跳上去就跳出去了。所以在最后合并的位置就是 lca(x,y)。
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int fd_root(int x) {
access(x); splay(x);
push_down(x);
while(ls) x=ls,push_down(x);
splay(x);
return x;
}
bool cut(int x,int y) {
make_root(x);
if(fd_root(y)!=x||ch[0][y]||fa[y]!=x) return 0;
fa[y]=ch[1][x]=0;
return 1;
}
cut 的时候判什么？显然 make_root 后 x,y 在同一个 splay，因为 make_root 后 x 就是原树的根，find_root 时已经将 y 与 x 打通实链，那么看看根是不是 x，又因为 y 一定是 x 的右儿子（在原树上上下关系），且因为上下关系，y 不能有左儿子 z，不然就出现 depx<depz<depy 的局面了，也就是说在原树上 x,y 是长度大于 2 的链的 2 个端点罢了。
