P3690 【模板】动态树（Link Cut Tree）疑惑与解答

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1

splay 是二叉树，要满足权值性质。在 LCT 中满足的性质是权值为深度，即一棵 splay 维护的联通块满足中序遍历后的序列在原树中是一条链。（深度递增），splay 的树根的 fa 指向的是原树中这条链实实在在的父亲，所以我们在一系列操作中都要维护这个性质，才能实现原树中自下而上跳链。

2

rotate，因为 $x$ 是 $y$ 的 ident(x) 子，所以 $y$ 是 $x$ 的 ident(x)^1 子，然后本来 $x$ 的这个儿子被 $y$ 占了，又因为这个儿子在 $y$ 的 ident(x) 子树，所以这个儿子是 $y$ 的 ident(x) 子。

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$splay$ 看父亲和父亲的父亲都是为了降低复杂度。总之就是，旋 $1$ 次就到根了。否则的话，看是否 $3$ 点共线，是的话就先旋父亲，不是就对 $x$ 旋 $2$ 次。效果上都是对链的叉化。

4

为什么

// 回顾一下代码
inline int Access(int x) {
  int p;
  for (p = 0; x; p = x, x = f[x]) {
    Splay(x), ch[x][1] = p, PushUp(x);
  }
  return p;
}

考虑需要在 access 过程中满足一系列性质。

1. access 操作只是在原树中拉一条从根到 x 的实链，也就是说 $x$ 不该有右儿子。

2. 当我们每次 splay(x) 时，此时的 fa[x] 对应原树 x 所在 splay 集合构成的一条链 的父亲，也就是说 $x,p$ 现在都是它们对应 splay 的树根，且有 $fa[p]=x$，那么是不是可以在原树上看成上下接壤的 2 条链，自然深度关系就出来了。

3. 为什么左儿子都可以不管呢？因为每次合并 2 个 splay 时相当于合并 2 条深度递增的链（有 $fa[p]=x$ 保证，也就是 p 这个 splay 构成的链一定在 x 这个 splay 构成的链之下。性质）。那么只需要考虑右儿子即可。

4. 原先 $x$ 的右儿子现在自然成为了它所在 splay 的根了。那么是否满足它的父亲（即 x），与它在原树上也是父子关系呢？考虑原先没有实变虚，那么显然在原树上是这样一条链 $ls[x]\to x \to rs[x]$，$ls,rs$ 指左右儿子中序遍历后构成的，那么显然在 $rs[x]$ 中存在一个点 $q$，满足在原树上 $dep[q]=dep[x]+1$，不然不可能原先在同一个 splay。于是这样就好办了，实变虚后，$rs[x]$ 单独对应树上一条链，且里面存在一个点的深度为树根父亲深度 $+1$，自然满足 splay 的树根的 fa 指向的是原树中这条链实实在在的父亲 这个性质了。

连续两次 Access 操作时，第二次 Access 操作的返回值等于这两个节点的 LCA.

因为这个 p 是最后一个穿过虚边的位置。
然后第一次 access 之后会把 x 到根打成实链，第二次 access y 会在 lca(x,y) 的时候经过最后一条虚边。

p 都知道吧？模拟一下就可以知道。那么 lca(x,y) 是不是一定在实链中？那么从 y 一直 splay 上去，是不是最后 2 个 splay 合并完就是在 lca(x,y) 初，因为 access(x) 把 x 与根放在一个 splay，再从这个 splay 跳上去就跳出去了。所以在最后合并的位置就是 lca(x,y)。

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int fd_root(int x) {
	access(x); splay(x);
	push_down(x);
	while(ls) x=ls,push_down(x);
	splay(x); 
	return x;
}

bool cut(int x,int y) { 
	make_root(x);
	if(fd_root(y)!=x||ch[0][y]||fa[y]!=x) return 0;
	fa[y]=ch[1][x]=0;
	return 1;
}

cut 的时候判什么？显然 make_root 后 x,y 在同一个 splay，因为 make_root 后 x 就是原树的根，find_root 时已经将 y 与 x 打通实链，那么看看根是不是 x，又因为 y 一定是 x 的右儿子（在原树上上下关系），且因为上下关系，y 不能有左儿子 z，不然就出现 depx<depz<depy 的局面了，也就是说在原树上 x,y 是长度大于 2 的链的 2 个端点罢了。

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本文作者：F x o r G
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