最大权闭合子图

注意有别于集合划分模型

闭合子图：$\forall x\in V,(x,y),y\in V$，也就是说对于点集的每个点，它的出边所指向的点也在该点集内。

实际问题的意义大多 $(x,y)$ 指倘若 $x$ 选了，那么 $y$ 也选了。

考虑对于每个点赋权，有正有负，以及若干限制，选了 x 就一定要选 y，要求最后选的利益最大。

考虑正权要选那么可能会需要选到若干负权的，否则干脆都不选。

对于正权点的，连 $S\to i$，容量为 $a_i$，对于负权的，连 $i\to T$ 容量为 $-a_i$，限制连容量 $\infty$，那么跑最小割的话的答案就是舍弃掉一些权值，再用所有正权和减去即可。

证明：倘若正权与 S 的边被割了，那么说明最后没有选择正权，则与其相连的负权边的出边也一定不会被割！倘若正权与 S 的边没被割，那么相连的负权到 T 的边一定都被割，即该正权点所选需要满足的限制都满足了，这时候这一部分会减去（负贡献）

最小权

$a$ 都取相反数，那么最后出来的就是最小权闭合子图的相反数，因为考虑最小权闭合子图选出来的点集为 $V$，即 $\min \sum_{x\in V} a[x]$，现在我们求出来了 $\max \sum_{x\in V} -a[x]$，显然二者互为相反数关系。

类比下最长路，即将边权都乘上 -1，跑最短路。

https://www.luogu.com.cn/problem/AT3672

__EOF__

本文作者：F x o r G
本文链接：https://www.cnblogs.com/xugangfan/p/16169239.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！