YACS 2022年02月月赛 甲组 开关灯

https://iai.sh.cn/problem/589

晚自修摸鱼 15 min 想了出来。

考虑朴素覆盖，显然不行。

换种思路，考虑一个数被多少数覆盖到了，发现 m 很小，直接状压。

$f[S]$ 表示仅以 S 状态的覆盖到的数的数量，即 $f[S]$ 贡献的数不能贡献到 $f[T],T\subseteq S$。

发现可以容斥，即枚举超集，然后减去即可。

再发现转移顺序可能很奇怪，那么记搜。

注意 int128。

#include <bits/stdc++.h>
#define int __int128
#define il inline 
using namespace std; 
il int rd() {
	int f=1,sum=0; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return sum*f;
}
void pr(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
	if(x>9) pr(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=(1<<16)+1;
int n,m,mS,f[N],a[20];

il int gcd(int x,int y) {
	return !y?x:gcd(y,x%y);
}

il int lcm(int x,int y) {
	return x/gcd(x,y)*y;
}

il int cal(int S) {
	if(!S) return 0; int qwq=1;
//	 cout<<S<<endl;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		if((S>>(i-1))&1) {
			qwq=lcm(qwq,a[i]);
//			cout<<": "<<i<<" ";
		}
	}
//	cout<<qwq<<" lcm\n";
	return n/qwq;
}

il int dfs(int S) {
	if(f[S]!=-1) return f[S];
	int SS=mS-S,qwq=cal(S);
	for(int T=SS;T;T=(T-1)&SS) {
		int U=(T|S);
		qwq-=dfs(U);
	}
	return f[S]=qwq;
} 

il int cal1(int x) {
	int cnt=0;
	while(x) ++cnt,x-=(x&(-x)); 
	return cnt;
}

signed main() {
	memset(f,-1,sizeof(f));
	n=rd(); m=rd(); mS=(1<<m)-1;
	for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=rd();
	f[mS]=cal(mS); int ans=0;
	for(int i=1;i<=mS;i++) if(f[i]==-1) dfs(i);
	for(int i=1;i<=mS;i++) {
		if(cal1(i)%2!=0) ans+=f[i];
	}
	pr(ans);
	return 0;
}

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本文作者：F x o r G
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