GCD Extreme
题目来源
Beginning Algorithm Contests -- Training Guide (Rujia Liu) Chapter 2 Example 9
COGS链接：http://218.28.19.228/cogs/problem/problem.php?pid=1481
题目描述
输入正整数N，求G的值。G如下定义：
分析
首先需要知道欧拉函数φ(n)。
定义Fn为φn的前n项和。另外由于i<j，本题φ1=0.
考虑GCD(i,j)结果的可能性，只有N-1（或者左右）种可能。
本题的关键，就是要知道，对于所有0<i<j≤N，满足GCD(i,j)=k的，共有F(n/k)个。
当k=1时，[i,j] = 1，即i,j互质，那么就共有φ1+φ2+φ3+…+φn=Fn个；
当k=2时，[i,j] = 2，则[i/2,j/2] = 1，那么就共有φ1+φ2+φ3+…+φn/2=Fn/2个；
……
于是就有那个神奇的结论了。
分析到这里已经可以A了，但10个数据最快30多秒才能完成（毕竟是极限版嘛）。
但还有两个优化：
①WZJ的分块优化。
如果a/i=k，那么∀x∈(i, a/(a/i))，a/x=k。
这样子就可以把for循环改成do-while循环，复杂度由n2降为nlogn。
里面有个简化的式子，原型是(j-1)*(j-1+1)/2-(i-1)*(i-1+1)/2。
②ZZX的筛法求欧拉函数（的前n项和）
怎么筛就不说了看代码。
中间比较关键的一句是F[i*prime[j]] = i % prime[j]==0 ? F[i]*prime[j] : F[i]*(prime[j]-1);
当i mod prime≠0时，用欧拉函数是积性函数的性质，那φi*prime=φi+φprime，φprime=prime-1。
当i|prime时，要用到φn=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)…，然后因为prime的p们都和i的重复了，所以只乘个前面的n（此时等于prime）即可。
最后，在配上高大上的ZZX's Prime-table，就大功告成啦！！！
1 /**************************************************************************************************** 2 Source: Beginning Algorithm Contests -- Training Guide (Rujia Liu) Chapter 2 Example 9 3 Author: Xue Zhonghao 4 Date: 2014-4-18 18:58:42 5 State: Accepted 6 ****************************************************************************************************/ 7 #include<cstdio> 8 #include<fstream> 9 using namespace std; 10 ifstream fin("gcd_extreme.in"); 11 ofstream fout("gcd_extreme.out"); 12 13 #define MAXN 4000010 14 #define ULL unsigned long long 15 16 ULL F[MAXN]; 17 int prime[303] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 18 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 19 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 20 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 21 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 22 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 23 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 24 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 25 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 26 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 27 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 28 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 29 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 30 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 31 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 32 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 33 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 34 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 35 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 36 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 37 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 38 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 39 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 40 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 41 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 42 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 43 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 44 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 45 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 46 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 47 1993, 1997, 1999};//ZZX's Prime-table OTZ 48 49 void Euler_table(ULL n) { 50 F[1] = 0; 51 for(ULL i = 2; i <= n; ++i) { 52 if(F[i] == 0) F[i] = i-1; 53 for(int j = 0; j < 303; ++j) { 54 if(i * prime[j] > n) break; 55 F[i*prime[j]] = i % prime[j]==0 ? F[i]*prime[j] : F[i]*(prime[j]-1); 56 } 57 F[i] += F[i-1]; 58 } 59 } 60 61 int main(void) 62 { 63 ULL N; 64 Euler_table(4000000); 65 while(fin>>N) { 66 if(N == 0) break; 67 ULL ans = 0; 68 ULL i, j = 1; 69 do { 70 i = j; 71 j = N / (N / i) + 1; 72 ans += ((j*(j-1) - i*(i-1)) / 2) * F[N/i]; 73 }while(j < N); 74 /*for(ULL i = 1; i < N; ++i) 75 ans += i * F[N/i];*/ 76 fout<<ans<<endl; 77 } 78 return 0; 79 }
