学数答题160910-函数方程
题160910(14分)已知$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的单调函数,且对任意$x>0$,有$f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)=1$,求$f(x)$.
解:由题意,有$f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)\cdot f\left( f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right)=1$,
又$f(x)\cdot f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)=1$,于是$f\left( f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right)=f(x)$.
由于$f(x)$是单调函数,因此$f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}}=x$,
即$\dfrac{1}{f(x)}+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}}=x$,解得$f(x)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2x}$或$f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$.
经验证,这两个函数均符合题意,
这样就得到了所有符合题意的$f(x)$.