学数答题160903-函数方程
题160907（14分）$f\left( x \right)={{x}^{2}}+px+q$，若$f\left( f\left( x \right) \right)=0$只有一个实数根，求证：$p,q\ge 0$．
题目来源：2011年北大保送生
解：$f\left( f\left( x \right) \right)=0$，即$f{{\left( x \right)}^{2}}+pf\left( x \right)+q=0$，
$\Delta ={{p}^{2}}-4q\ge 0$，
（1）若$\Delta ={{p}^{2}}-4q>0$，设$f\left( x \right)={{x}_{1}}$，$f\left( x \right)={{x}_{2}}$，${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$，
即${{x}^{2}}+px+q-{{x}_{1}}=0$或${{x}^{2}}+px+q-{{x}_{2}}=0$．
依题意，两方程中仅有一解，
不妨设${{\Delta }_{1}}={{p}^{2}}-4\left( q-{{x}_{1}} \right)<0$，${{\Delta }_{1}}={{p}^{2}}-4\left( q-{{x}_{2}} \right)=0$，
故${{x}_{1}}<q-\dfrac{{{p}^{2}}}{4}<0$，${{x}_{2}}<q-\dfrac{{{p}^{2}}}{4}<0$．
再由韦达定理知$q={{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}>0$，$p=-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)<0$．
（2）若$\Delta ={{p}^{2}}-4q=0$，设$f\left( x \right)={{x}_{0}}$，
即${{x}^{2}}+px+q-{{x}_{0}}=0$，
依题意${{\Delta }_{3}}={{p}^{2}}-4\left( q-{{x}_{0}} \right)=0$，所以${{x}_{0}}=0$．
所以$q={{x}_{0}}\cdot {{x}_{0}}=0$，$p=-\left( {{x}_{0}}+{{x}_{0}} \right)=0$．
综上，$p\ge 0$，$q\ge 0$．
法2：$f\left( f\left( x \right) \right)=0$，即$f{{\left( x \right)}^{2}}+pf\left( x \right)+q=0$，
由求根公式知$f\left( x \right)=\dfrac{-p\pm \sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}$，
$f\left( f\left( x \right) \right)=0$有且仅有一个实数解，且$f\left( x \right)\in \left[ q-\dfrac{{{p}^{2}}}{4},+\infty \right)$，
所以$f\left( x \right)=\dfrac{-p+\sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}$（$f\left( x \right)=\dfrac{-p-\sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}$舍去），
且$f\left( x \right)={{x}^{2}}+px+q=\dfrac{-p+\sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}$有且仅有一解，
即${{x}^{2}}+px+q-\dfrac{-p+\sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2}=0$有且仅有一解，
\[\Delta ={{p}^{2}}-4\left( q-\dfrac{-p+\sqrt{{{p}^{2}}-4q}}{2} \right)=0\]．
所以${{p}^{2}}-4q-2p+2\sqrt{{{p}^{2}}-4q}=0$，
可得$p=\dfrac{1}{2}\left( {{p}^{2}}-4q \right)+\sqrt{{{p}^{2}}-4q}=\dfrac{1}{2}{{\left( \sqrt{{{p}^{2}}-4q}+1 \right)}^{2}}-\dfrac{1}{2}\ge 0$，
即$p\ge 0$，
又$p=\dfrac{1}{2}\left( {{p}^{2}}-4q \right)+\sqrt{{{p}^{2}}-4q}\ge \sqrt{{{p}^{2}}-4q}$，
从而${{p}^{2}}\ge {{p}^{2}}-4q$，即$q\ge 0$．
