学数答题160905-函数方程
题160905(15分)是否存在单位圆内接$\Delta ABC$,其三边长$BC=a$,$CA=b$,$AB=c$,且存在实数$p$,使得关于$x$的方程
${{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+bcx=p$
以$\sin A$、$\sin B$、$\sin C$为根.
提示:一元三次方程韦达定理+正弦定理
解:假定存在这样的三角形,由韦达定理有
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2a=\sin A+\sin B+\sin C, \\ bc=\sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A. \\\end{array} \right.$
由正弦定理有$\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}=\dfrac{1}{2R}=\dfrac{1}{2}$,
由上面两式可得$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2a=\dfrac{1}{2}\left( a+b+c \right), \\ bc=\dfrac{1}{4}\left( ab+bc+ca \right) \\\end{array} \right.$,
整理得$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3a=b+c, \\ 3bc=ab+ac \\\end{array} \right.$,
代入得$3bc=a\left( b+c \right)=3{{a}^{2}}$$\Rightarrow $$bc={{a}^{2}}$,
在$\Delta ABC$中,有$b<a+c$,$c<a+b$,
于是$3a=b+c<a+2c$$\Rightarrow $$a<c$,同理可得$a<b$,
于是$bc={{a}^{2}}<bc$,矛盾.
故不存在满足条件的三角形.