学数答题160905-函数方程

题160905（15分）是否存在单位圆内接$\Delta ABC$，其三边长$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，且存在实数$p$，使得关于$x$的方程

${{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+bcx=p$

以$\sin A$、$\sin B$、$\sin C$为根．

提示：一元三次方程韦达定理+正弦定理

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解：假定存在这样的三角形，由韦达定理有

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   2a=\sin A+\sin B+\sin C,  \\   bc=\sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A.  \\\end{array} \right.$

由正弦定理有$\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}=\dfrac{1}{2R}=\dfrac{1}{2}$，

由上面两式可得$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   2a=\dfrac{1}{2}\left( a+b+c \right),  \\   bc=\dfrac{1}{4}\left( ab+bc+ca \right)  \\\end{array} \right.$，

整理得$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   3a=b+c,  \\   3bc=ab+ac  \\\end{array} \right.$，

代入得$3bc=a\left( b+c \right)=3{{a}^{2}}$$\Rightarrow$$bc={{a}^{2}}$，

在$\Delta ABC$中，有$b<a+c$，$c<a+b$，

于是$3a=b+c<a+2c$$\Rightarrow$$a<c$，同理可得$a<b$，

于是$bc={{a}^{2}}<bc$，矛盾．

故不存在满足条件的三角形．