学数答题160903-三角函数

题160903设$\alpha ,\beta $均为锐角，满足

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta =\sin (\alpha +\beta )$，

求$\alpha +\beta $的值．

试题来源：2016年北大全国优秀中学生暑期学堂

参考答案：$\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$

解：显然当$\alpha +\beta =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$时，等式成立；

由已知条件知${{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta $，

整理得$\sin \alpha (\sin \alpha -\cos \beta )=\sin \beta (\cos \alpha -\sin \beta )$．

若$\alpha +\beta \ne \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$，则有$\sin \alpha -\cos \beta $与$\cos \alpha -\sin \beta $同号．

若它们同为正，则有$\sin \alpha >\cos \beta =\sin \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\beta \right)$，$\cos \alpha =\sin \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\alpha \right)>\sin \beta $，

从而有$\alpha >\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\beta $，$\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\alpha >\beta $，无解；

若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．

综上，$\alpha +\beta =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$．

法2：由${{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta =\sin (\alpha +\beta )$，$\sin \left( \alpha +\beta \right)\le 1$，得${{\sin }^{2}}\alpha \le 1-{{\sin }^{2}}\beta ={{\cos }^{2}}\beta $，

因为$\alpha ,\beta $均为锐角，所以$\sin \alpha \le \cos \beta $，同理$\sin \beta \le \cos \alpha $，

故$\sin \left( \alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta $$\ge {{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta $，

当且仅当$\sin \alpha =\cos \beta =\sin \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\beta \right)$，$\sin \beta =\cos \alpha =\sin \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\alpha \right)$时取等，

因为$\alpha ,\beta ,\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\alpha ,\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\beta $均为锐角，所以$\alpha +\beta =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$．

学生解答

BAM提供：正确