最大熵原理

一、最大熵原理

　　最大熵原理是在1957 年由E.T.Jaynes 提出的，其主要思想是，在只掌握关于未知分布的部分知识时，应该选取符合这些知识但熵值最大的概率分布。因为在这种情况下，符合已知知识的概率分布可能不止一个。我们知道，熵定义的实际上是一个随机变量的不确定性，熵最大的时候，说明随机变量最不确定，换句话说，也就是随机变量最随机，对其行为做准确预测最困难。从这个意义上讲，那么最大熵原理的实质就是，在已知部分知识的前提下，关于未知分布最合理的推断就是符合已知知识最不确定或最随机的推断，这是我们可以作出的唯一不偏不倚的选择，任何其它的选择都意味着我们增加了其它的约束和假设，这些约束和假设根据我们掌握的信息无法作出。

　　最大熵原理指出，当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。（不做主观假设这点很重要。）在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们称这种模型叫“最大熵模型”。匈牙利著名数学家、信息论最高奖香农奖得主希萨（Csiszar）证明，对任何一组不自相矛盾的信息，这个最大熵模型不仅存在，而且是唯一的。而且它们都有同一个非常简单的形式 --指数函数。

二、最大熵模型

参考文献 http://www.cnblogs.com/ooon/p/5677098.html

在求解概率模型时，当没有任何约束条件则只需找到熵最大的模型，比如预测一个骰子的点数，每个面为 $\frac{1}{6}$， 是， 当模型有一些约束条件之后，首先要满足这些约束条件， 然后在满足约束的集合中寻找熵最大的模型，该模型对未知的情况不做任何假设，未知情况的分布是最均匀的。举例来说对于随机变量 $X$ ，其可能的取值为 $\left \{ A,B,C\right\}$ ，没有任何约束的情况下下，各个值等概率得到的 MaxEnt 模型为：

 \[P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}\]

当给定一个约束 $P(A)=  \frac{1}{2}$ , 满足该约束条件下的 MaxEnt 模型是：

\[P(A) = \frac{1}{2}\]

\[P(B) = P(C) = \frac{1}{4}\]

如果用欧式空间中的 simplex 来表示随机变量 $X$ 的话，则 simplex 中三个顶点分别代表随机变量 $X$ 的三个取值 A, B, C , 这里定义 simplex  中任意一点 $p$ 到三条边的距离之和（恒等于三角形的高）为 1，点到其所对的边为该取值的概率，比如任给一点 $p$ ，则$P(A)$ 等于 $p$ 到  边 BC 的距离，如果给定如下概率：

\[P(A) = 1 ,P(B) =P(C) = 0\]

\[P(A) = P(B) =P(C) = \frac{1}{3}\]

分别用下图表示以上两种情况：

明白了 simplex 的定义之后，将其与概率模型联系起来，在 simplex 中，不加任何约束，整个概率空间的取值可以是 simplex 中的任意一点，只需找到满足最大熵条件的的即可；当引入一个约束条件 $C_1$ 后，如下图中 (b),模型被限制在 $C_1$ 表示的直线上，则应在满足约束 $C_1$ 的条件下来找到熵最大的模型；当继续引入条件 $C_2$ 后，如图(c)，模型被限制在一点上，即此时有唯一的解；当 $C_1$ 与 $C_2$ 不一致时，如图(d)，此时模型无法满足约束，即无解。在 MaxEnt 模型中，由于约束从训练数据中取得，所以不会出现不一致。即不会出现(d) 的情况。

接下来以统计建模的形式来描述 MaxEnt 模型，给定训练数据 $\left \{ (x_i,y_i)\right\}_{i=1}^N$ ，现在要通过Maximum Entropy 来建立一个概率判别模型，该模型的任务是对于给定的 $X = x$ 以条件概率分布 $P(Y|X = x )$ 预测 $Y$ 的取值。根据训练语料能得出 $(X,Y)$ 的经验分布， 得出部分 $(X,Y)$ 的概率值，或某些概率需要满足的条件,即问题变成求部分信息下的最大熵或满足一定约束的最优解，约束条件是靠特征函数来引入的，首先先回忆一下函数期望的概念

对于随机变量 $X = x_i,i = 1,2,… $，则可以得到：

随机变量期望: 对于随机变量 $X$ ，其数学期望的形式为 $ E(X) = \sum_ix_ip_i$

随机变量函数期望：若 $Y = f(X)$ ， 则关于 $X$ 的函数 $Y$ 的期望： $E(Y) = \sum_if(x_i)p_i$.

特征函数

特征函数 $f(x,y)$ 描述 $x$ 与 $y$ 之间的某一事实，其定义如下：

\[ f(x,y) = \left \{ \begin{aligned}
1, & \ 当 \ x、y \ 满足某一事实.\\
0,   & \ 不满足该事实.\\
\end{aligned}\right .\] 

特征函数 $f(x,y)$ 是一个二值函数， 当 $x$ 与 $y$ 满足事实时取值为 1 ，否则取值为 0 。比如对于如下数据集：

数据集中，第一列为 Y ，右边为 X ，可以为该数据集写出一些特征函数，数据集中得特征函数形式如下：

 \[ f(x,y) = \left \{ \begin{aligned}
1, & \ 当 \ x= Cloudy \ and \ y=Outdoor.\\
0,   & \ else.\\
\end{aligned}\right .\]

为每个 <feature,label> 对 都做一个如上的特征函数，用来描述数据集数学化。

约束条件

接下来看经验分布，现在把训练数据当做由随机变量 $(X,Y)$ 产生,则可以根据训练数据确定联合分布的经验分布 $\widetilde{P}(X,Y)$ 与边缘分布的经验分布 $\widetilde{P}(X)$ :

 

\begin{aligned} 
\widetilde{P}(X = x,Y = y) &= \frac{count(X=x,Y= y)}{N}\\
\widetilde{P}(X = x) &= \frac{count(X=x)}{N}
\end{aligned}

用 $E _{\widetilde{P}}(f)$ 表示特征函数 $f(x,y)$ 关于经验分布 $\widetilde{P}(X ,Y )$ 的期望，可得：

\[E _{\widetilde{P}}(f)  = \sum_{x,y}\widetilde{P}(x ,y)f(x,y) = \frac{1}{N} \sum_{x,y}f(x,y) \]

$\widetilde{P}(x ,y)$ 前面已经得到了，数数 $f(x,y)$ 的次数就可以了，由于特征函数是对建立概率模型有益的特征，所以应该让 MaxEnt 模型来满足这一约束，所以模型 $P(Y|X)$  关于函数 $f$ 的期望应该等于经验分布关于 $f$ 的期望，模型 $P(Y|X)$ 关于 $f$ 的期望为：

\[E_P(f) =\sum_{x,y}P(x,y)f(x,y) \approx  \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P(y|x)f(x,y)\]

经验分布与特征函数结合便能代表概率模型需要满足的约束，只需使得两个期望项相等， 即 $E_P(f) = E _{\widetilde{P}}(f)$ ：

\[\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)p(y|x)f(x,y) =  \sum_{x,y}\widetilde{P}(x ,y)f(x,y)\]

上式便为 MaxEnt 中需要满足的约束，给定 $n$ 个特征函数 $f_i(x,y)$ ，则有 $n$ 个约束条件，用 $C$ 表示满足约束的模型集合：

\[C = \left\{ P \ | \ E_P(f_i) = E _{\widetilde{P}}(f_i) ,I = 1,2,…,n \right \}\]

从满足约束的模型集合 $C$ 中找到使得 $P(Y|X)$ 的熵最大的即为 MaxEnt 模型了。

最大熵模型

关于条件分布 $P(Y|X)$ 的熵为：

\[H(P) =–\sum_{x,y}P(y,x)logP(y|x)= –\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)\]

首先满足约束条件然后使得该熵最大即可，MaxEnt 模型 $P^*$ 为：

\[ P^* = arg\max_{P \in C} H(P) \ \  或 \ \   P^* = arg\min_{P \in C} -H(P) \]

综上给出形式化的最大熵模型：

给定数据集 $\left \{ (x_i,y_i)\right\}_{i=1}^N$，特征函数 $f_i(x,y)，i= 1,2…,n$ ，根据经验分布得到满足约束集的模型集合 $C$ ：

\begin{aligned}
& \min_{P \in C} \ \  \sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) \\
& \ s.t. \ \ \ E_p(f_i) =  E _{\widetilde{P}}(f_i) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_yP(y|x) = 1
\end{aligned}

MaxEnt 模型的求解

MaxEnt 模型最后被形式化为带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将其转为无约束优化的问题，引入拉格朗日乘子：

$w_0,w_1,…,w_n$， 定义朗格朗日函数 $L(P,w)$:

\begin{aligned}
L(P,w) 
&= -H(P) + w_0\left (1-\sum_yP(y|x) \right ) + \sum^n_{i=1}w_i(E _{\widetilde{P}}(f_i) - E_p(f_i))\\
&=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) + w_0\left (1-\sum_yP(y|x) \right ) + \sum^n_{i=1}w_i\left (\sum_{x,y}\widetilde{P}(x ,y)f(x,y) -\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)p(y|x)f(x,y) \right )
\end{aligned}

现在问题转化为: $\min_{P \in C}L(P,w)$ ，拉格朗日函数 $L(P,w)$ 的约束是要满足的 ，如果不满足约束的话，只需另 $w_i \rightarrow +\infty$ ，则可得 $L(P,w) \rightarrow +\infty$ ，因为需要得到极小值，所以约束必须要满足，满足约束后可得： $L(P,w) = \max L(P,w)$ ，现在问题可以形式化为便于拉格朗日对偶处理的极小极大的问题：

\[\min_{P \in C} \max_w L(P,w)\]

由于 $L(P,w)$ 是关于 P 的凸函数，根据拉格朗日对偶可得 $L(P,w)$ 的极小极大问题与极大极小问题是等价的：

\[\min_{P \in C} \max_w L(P,w) =  \max_w  \min_{P \in C} L(P,w) \]

现在可以先求内部的极小问题 $\min_{P \in C} L(P,w)$ ，$\min_{P \in C} L(P,w)$ 得到的解为关于 $w$ 的函数，可以记做 $\Psi(w)$ ：

\[\Psi(w) =  \min_{P \in C} L(P,w) = L(P_w,w)\]

上式的解 $P_w$ 可以记做：

\[P_w = arg \min_{P \in C}L(P,w) = P_w(y|x)\]

由于求解 $P$ 的最小值 $P_w$ ,只需对于 $P(y|x)$ 求导即可,令导数等于 0 即可得到 $P_w(y|x)$ ：

\begin{aligned}
\frac{\partial L(P,w) }{\partial P(y|x)} &= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)(logP(y|x)+1)-\sum_yw_0-\sum_{x,y}\left ( \widetilde{P}(x)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y) \right ) \\
&= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)\left ( logP(y|x)+1-w_0-\sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right ) = 0 \\
\Rightarrow  \\
P(y|x) &= exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) +w_0-1 \right ) = \frac{exp\left(\sum_{i=1}^n w_if_i(x,y)  \right )}{exp(1-w_0)}
\end{aligned}

由于 $\sum_yP(y|x) = 1$，可得:

\[\sum_yP(y|x) = 1 \Rightarrow \frac {1} {exp(1-w_0)} \sum _y  exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right ) = 1\]

进而可以得到：

\[ exp(1-w_0) =  \sum _y  exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right ) \]

这里  $exp(1-w_0)$ 起到了归一化的作用，令 $Z_w(x)$ 表示 $exp(1-w_0)$ ，便得到了 MaxEnt 模型 ：

 

\begin{aligned}
P_w(y|x) &= \frac{1}{Z_w(x) }exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right ) \\
Z_w(x) &=\sum _y  exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right )
\end{aligned}

这里 $f_i(x,y)$ 代表特征函数，$w_i$ 代表特征函数的权值， $P_w(y|x)$  即为 MaxEnt 模型，现在内部的极小化求解得到关于 $w$ 的函数，现在求其对偶问题的外部极大化即可，将最优解记做 $w^*$:

\[w^* = arg \max_w \Psi(w)\]

所以现在最大上模型转为求解 $\Psi(w)$ 的极大化问题，求解最优的 $w^*$ 后， 便得到了所要求的MaxEnt 模型，将 $P_w(y|x)$ 带入 $\Psi(w)$ ，可得：

\begin{aligned}
\Psi(w) &=\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)logP_w(y|x) + \sum^n_{i=1}w_i\left (\sum_{x,y}\widetilde{P}(x ,y)f(x,y) -\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)f(x,y) \right )\\
&= \sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)\left (logP_w(y|x) - \sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  \right) \\
&=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)logZ_w(x)\\
&=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_x\widetilde{P}(x)logZ_w(x)\sum_yP_w(y|x)\\
&=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_x\widetilde{P}(x)logZ_w(x)\\
\end{aligned}

以上推倒第二行到第三行用到以下结论：

\[P_w(y|x) = \frac{1}{Z_w(x) }exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right )  \Rightarrow  logP_w(y|x) =\sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) - logZ_w(x)\]

倒数第二行到最后一行是由于：$\sum_yP_w(y|x) = 1$，最终通过一系列极其复杂的运算，得到了需要极大化的式子：

\[\max_{p \in C} \sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_x\widetilde{P}(x)logZ_w(x)\]

极大化似然估计解法

这太难了，有没有简单又 work 的方式呢？ 答案是有的，就是极大似然估计 MLE 了，这里有训练数据得到经验分布 $\widetilde{P}(x,y)$ ， 待求解的概率模型 $P(Y|X)$ 的似然函数为：

\[L_{\widetilde{P}}(P_w) = log\prod_{x,y}P(y|x)^{\widetilde{P}(x,y)} = \sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y)logP(y|x) \]

将 $P_w(y|x)$ 带入以下公式可以得到：

 

显而易见，拉格朗日对偶得到的结果与极大似然得到的结果时等价的，现在只需极大化似然函数即可，顺带优化目标中可以加入正则项，这是一个凸优化问题，一般的梯度法、牛顿法都可解之，专门的算法有GIS和IIS 算法。

三、GIS和IIS 算法

参考文献 http://blog.csdn.net/itplus/article/details/26550369