Python----多元线性回归

多元线性回归

1、多元线性回归方程和简单线性回归方程类似，不同的是由于因变量个数的增加，求取参数的个数也相应增加，推导和求取过程也不一样。、

y=β₀＋β_１x₁+β₂x₂+ ... +β_px_p+ε

对于b0、b1、…、bn的推导和求取过程，引用一个第三方库进行计算

2、应用多元线性回归的几个限定条件

（1）Linearity 线性
（2）Homoscedasticity 同方差性
（3）Multivariate normality 多元正态分布
（4）Independence od errors 误差独立
（5）Lack of multicollinearity 无多重共线性

3、建立多元线性回归模型的方法：

1、All-in
（1）已经知道很多自变量的信息，这些自变量都影响结果
（2）“老板”告诉你这些自变量，用这些自变量建立模型，必须遵守
（3）反向淘汰的第一步
2、Backward Elimination 反向淘汰（应用最多）
（1）对每个模型的自变量来说，对模型有影响；定义影响是否显著，显著性门槛0.05，决定对自变量的取舍
（2）采用所有的自变量来对模型做拟合，得到一个拟合好的模型
（3）对于模型的每个自变量都计算P值，取最高的P值（影响），如果大于门槛则进入第四步，否则算法结束，模型拟合好
（4）最高的P值，对应的自变量从模型中去除
（5）去除一个自变量后的，剩余自变量进行重新拟合。诗第三步到第五步的循环；直到剩下的自变量都比门槛小，对模型有充分的影响，则模型拟合好
3、Forward Selection 顺向选择
（1）选择显著性的门槛0.05，一个新的变量对模型有多大的影响
（2）进行多个简单的线性回归，对每个简单线性回归都可以计算P值，选择最低的P值（这个自变量对将要拟合的模型影响最大，保留自变量）
（3）剩下的自变量中，加上哪个会给我们带来最小的P值
（4）加入新P值比门槛小，则重新回到第三步。直到剩下的P值大于门槛值，此时剩下的变量对模型的影响不显著，则可以不采纳
4、Bidirectional Elimination 双向淘汰
（1）选择两个显著性的门槛，一个旧的变量是否应该被剔除，和一个新的是否应该被采纳
（2）进行顺向选择的过程，决定是否采纳新的自变量
（3）进行反向淘汰，采纳新的变量后，则可能剔除旧变量
（4）在反向淘汰和顺向选择中进行循环，直到旧的门槛出不去，新的门槛进不来，则模型拟合好
5、Score Comparison 信息量比较（维度自变量过大时，计算量大）
（1）赤池信息量准则（打分系统）
（2）取任意多个自变量，都可以对多元模型进行拟合，自己个数有多少，则有多少模型。2^n-1
（3）对模型注意打分，选择打分最高的模型
其中2、3、4，Stepwise Regression逐步回归，算法类似；实际应用顺序可能不同

4、举例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

dataset = pd.read_csv('Data.csv')
X = dataset.iloc[:, :-1].values
y = dataset.iloc[:, 4].values

from sklearn.preprocessing import LabelEncoder, OneHotEncoder
labelencoder_X = LabelEncoder()
X[:, 3] = labelencoder_X.fit_transform(X[:, 3])#对分类数据处理的列数
onehotencoder = OneHotEncoder(categorical_features = [3])
X = onehotencoder.fit_transform(X).toarray()

#前三列中去掉一列
X = X[:, 1:]#去除掉第0列

from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size = 0.3, random_state = 0)

#创建新的回归器，并且用训练集拟合
from sklearn.linear_model import LinearRegression
regressor = LinearRegression()#回归器，括号中不需要对参数进行赋值
regressor.fit(X_train, y_train)

#拟合好的回归器，运用到训练集上，用regressor预测测试集的创业公司的营业额为多少
y_pred = regressor.predict(X_test)

#Backward Elimination决定哪些自变量对因变量影响大，哪些可以剔除
import statsmodels.formula.api as sm 
#给向量加上一列或一行用append:arr 加上新的矩阵；values 要加的矩阵；axis 为arr加上行或列，axis=0加行数、axis=1加列数
#arr = np.ones((40, 1))四十行一列的矩阵
X_train = np.append(arr = np.ones((40, 1)).astype(int), values = X_train, axis = 1)#对训练集进行转变
#进行反向淘汰
X_opt = X_train [:, [0, 1, 2, 3, 4, 5]] #X_opt包含最佳的自变量选择，X_opt设定为所有的自变量
#拟合多维线性回归器
regressor_OLS = sm.OLS(endog = y_train, exog = X_opt).fit()
regressor_OLS.summary()#通过结果显示，剔除x2，及第二列
X_opt = X_train [:, [0, 1, 3, 4, 5]]
regressor_OLS = sm.OLS(endog = y_train, exog = X_opt).fit()
regressor_OLS.summary()
X_opt = X_train [:, [0, 3, 4, 5]]
regressor_OLS = sm.OLS(endog = y_train, exog = X_opt).fit()
regressor_OLS.summary()
X_opt = X_train [:, [0, 3, 5]]
regressor_OLS = sm.OLS(endog = y_train, exog = X_opt).fit()
regressor_OLS.summary()
X_opt = X_train [:, [0, 3]]
regressor_OLS = sm.OLS(endog = y_train, exog = X_opt).fit()
regressor_OLS.summary()