级数

无穷个数相加

有意义：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …… + 1/2^n-1 = 2

无意义：1 + 2 + 3 + 4 +  …… = ∞

e = lim_x→∞(1+1/x)^x = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +  …… 

 

级数（ Σ 西格玛）  Σ(∞ n=1)  代表  ，表示 n 从 1 到 无穷大。

例如，级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …… 的通项为 a_n  = 1/2^n-1 ，前n项部分和为S_n = 1 + 1/2 + …… + 1/2^n-1 = 2 * (1-1/2ⁿ)

例如，级数 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 + …… 的通项为 a_n  = 1/(n+1)(n+2)，故此级数可写为 Σ(∞ n=1)1/(n+1)(n+2)

例如，级数 Σ(∞ n=1)(-1)^n-1，即为 1 - 1 + 1 - 1 + ……

 

 

若 lim_x→∞S_n = S，则称 Σ(∞ n=1)a_n 收敛，S 为级数 Σ(∞ n=1)a_n 之和，记为  Σ(∞ n=1)a_n = S。

若 lim_x→∞S_n 不存在，则称 Σ(∞ n=1)a_n  是发散的。

例如， Σ(∞ n=1)1/2^n-1 是收敛的，且其和为 2.

例如，级数Σ(∞ n=1)1+2+3+4+……+n+…… 是发散的，因为 S_n = 1+2+3+4+……+n = n(n+1)/2，lim_x→∞S_n = ∞.

 

几何级数   例： Σ(∞ n=1)aq^n-1(a!=0)

当 |q|<1 时收敛，因为 S = lim_n→∞S_n = lim_n→∞(a-aqⁿ) /(1-q) = a/(1-q)

当 |q|>1 时发散，因为 S = lim_n→∞S_n = lim_n→∞(a-aqⁿ) /(1-q) = ∞

当 q=1 时发散，因为 S = a+a+a+……，S_n=na，lim_n→∞S_n = ∞

当 q=-1 时发散，因为 S = a-a+a-a+……，S_2n = 0，S_2n-1 = a，lim_n→∞S_n 不存在