二叉树（三）

二叉树效率：

在查找过程中，需要访问每层的一个节点，所以只要知道有多少层就知道操作多长时间。假设是一个满树：如表中显示

节点数	层 数
1	1
3	2
7	3
15	4
31	5
1023	10

 

 

 

 

 

 

 

假设第一列的节点个数为N，第二列层数为L，则 N 比 2 的L次方少一。
N = 2^L - 1   -->    L = log₂(N + 1)

因此，常见的树的操作时间大致都是 N 以 2 为底的对数，在大O表示法中，表示为 O( logN )

如果树不满，分析起来就很困难。不过，可以认为对给定层数的树，不满的树的平均查找时间肯定比满树的要短，因为它在较低的层上完成查找的次数比满树时少。

 

树与其它数据结构的比较：

1）在有1000000个数据项的无序数组或者链表中，查找数据项的平均比较是500000次，但在1000000个节点的二叉树中，只需要20或更少（ 通过log2(N + 1) 算出来）的比较。有序数组可以更快的找到数据项，但是插入数据项平均要移动500000个数据项，在1000000个节点的树插入数据项需要20或更少的比较，再加上很段的时间连接数据项。

2）在删除二叉树中，也是仅需要20次或更少的比较找到它，再加上一点时间找到它的后继，一点时间断开它的后继，以及连接它的后继。

因此，树对常有的数据结构存储操作都有很高的效率。

 

小结：

1）树是由边连接的节点组成的。

2）根是树最顶端的节点，没有父节点。

3）二叉树中，节点最多只有两个子节点。

4）二叉搜索树中，所有A节点的左边子孙节点的关键字都比A小，所有右边子孙节点的关键字都比A大。

5）树执行查找，插入，删除的时间复杂度都是 O（N）

6）节点表示保存在树中的对象。

7）查找节点需要比较关键值和节点的关键值，如果比节点关键值小则转向左边，其它则转向右边。

8）插入需要找到插入新节点的位置并且由它的父节点的子字段指向它。

9）中序遍历是按关键值升序访问节点的。

10）前序、后序遍历对解析代数表达式有用。

11）如果一个节点没有子节点，删除它只要把它的父节点的子字段设置为null即可。

12）如果一个节点只有一个子节点，删除它只要把它的子节点替换为它即可。

13）如果一个节点有两个子节点，删除它要用它的后继替换它。

14）在删除有两个子节点的节点中，会根据后继是被删节点的右子节点 还是 右子节点的左子孙节点的两个情况。