摘要：
联合分布(joint distribution)描述了多个随机变量的概率分布，是对单一随机变量的自然拓展。联合分布的多个随机变量都定义在同一个样本空间中。 对于联合分布来说，最核心的依然是概率测度这一概念。离散随机变量的联合分布 我们先从离散的情况出发，了解多个随机变量并存的含义。 之前说，一个随机变量是从样本空间到实数的映射。然而，所谓的映射是人为创造的。从一个样本空间，可以同时产生多个映射。比如，我们的实验是连续三次投硬币，样本空间为 h为正面，t为反面。在同一样本空间上，我们可以定义多个随机变量，比如:X：投掷为正面的总数，可以取值0，1，2，3Y：最后一次出现负面的总数，可... 阅读全文
摘要：
相对于离散随机变量，连续随机变量可以在一个连续区间内取值。比如一个均匀分布，从0到1的区间内取值。一个区间内包含了无穷多个实数，连续随机变量的取值就有无穷多个可能。 为了表示连续随机变量的概率分布，我们可以使用累积分布函数或者密度函数。密度函数是对累积分布函数的微分。连续随机变量在某个区间内的概率可以使用累积分布函数相减获得，即密度函数在相应区间的积分。 在随机变量中，我们了解了一种连续分布，即均匀分布(uniform distribution)。这里将罗列一些其他的经典连续分布。指数分布 指数分布(exponential distribution)的密度函数随着取值的变大而指数减小... 阅读全文
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我们已经知道什么是离散随机变量。离散随机变量只能取有限的数个离散值，比如投掷一个撒子出现的点数为随机变量，可以取1，2，3，4，5，6。每个值对应有发生的概率，构成该离散随机变量的概率分布。 离散随机变量有很多种，但有一些经典的分布经常重复出现。对这些经典分布的研究，也占据了概率论相当的一部分篇幅。我们将了解一些离散随机变量的经典分布，了解它们的含义和特征。伯努利分布 伯努利分布(Bernoulli distribution)是很简单的离散分布。在伯努利分布下，随机变量只有两个可能的取值: 1和0。随机变量取值1的概率为p。相应的，随机变量取值0的概率为1-p。因此，伯努利分布可以表示... 阅读全文
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我们了解了“样本空间”，“事件”，“概率”。样本空间中包含了一次实验所有可能的结果，事件是样本空间的一个子集，每个事件可以有一个发生的概率。概率是集合的一个“测度”。 这一讲，我们将讨论随机变量。随机变量(random variable)的本质是一个函数，是从样本空间的子集到实数的映射，将事件转换成一个数值。根据样本空间中的元素不同(即不同的实验结果)，随机变量 的值也将随机产生。可以说，随机变量是“数值化”的实验结果。在现实生活中，实验结果可以是很“叙述性”，比如“男孩”，“女孩”。在数学家眼里，这些文字化的叙述太过繁琐，我们为什么不能拿数字来代表它们呢？(数学家恐怕是很难成为文学家吧... 阅读全文
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在概率公理中，我们建立了“概率测度”的概念，并使用“面积”来类比。这是对概率的第一步探索。为了让概率这个工具更加有用，数学家进一步构筑了“条件概率”，来深入探索概率中包含的数学结构。我们可以考虑生活中常见的一个估计： 三个公司开发一块地。A占地20%，B占地30%，C占地50%。三个公司规划的绿地占比不同：A土地中40%规划为绿地，B土地中的30%规划为绿地，C土地中的10%规划为绿地。我想选择绿地最大的一个小区，应该选择哪一个呢？我们可以画图出来： 显然，我们需要比较的是A：0.2x0.4，B：0.3x0.1，C：0.5x0.1。这是我们常见的一种情形：整个地区分块，每块有一定的比例... 阅读全文
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概率论早期用于研究赌博中的概率事件。赌徒对 于结果的判断基于直觉，但高明的赌徒尝试从理性的角度来理解。然而，赌博中的一些结果似乎有矛盾。比如掷一个骰子，每个数字出现的概率相等，都是1/6。 然而，如果有两个骰子，那么出现的2到12这些数字的概率却不相同。概率论这门学科正是为了搞清楚这些矛盾背后的原理。 早期的概率论是一门混合了经验的数学学科，并没有严格的用语。因此，概率论在数学的精密架构下，显得有些异类。许多名词，如“概率”等，一定程度上是按照人们的直觉来定义的。1933年，俄国数学家 AndreiN.Kolmogorov建立了概率论的公理化体系，严格定义了概率论的语言。正如现代数学的其... 阅读全文
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概率 概率论研究的是随机或者说不确定事件。 它最早产生于赌徒对赌博结果的研究，(即使是今天，概率论也经常用于赌博)。既然是随机的事件，那么结果是否就只能凭运气呢？高明的赌徒发现了赌博中的一 些规律。投掷两个撒子买大小是常见的赌博游戏。赌徒发现，如果重复很多次，那么出现总数为2的次数会比总数7少。尽... 阅读全文
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诸葛亮回应道：“主公之在公安也，北畏曹公之强，东惮孙权之逼，近则惧孙夫人生变于肘腋之下；当斯之时，进退狼跋，法孝直为之辅翼，令翻然翱翔，不可复制，如何禁止法正使不得行其意耶！” 后来毛主席也在《资治通鉴》里读到此事，他批注说：“观人观大节，略小故。” 荆岫之玉，必含纤瑕。毛主席1975年有一个著名的批示，道出此中常理：“打破金要足赤，人要完人的形而上学错误思想。” 但这也要有一个前提。就像那些在革命战争中立下过汗马功劳的老干部，如果在和平年代贪污腐败堕落了，是不是就可以念及以前的功绩不予追究呢？ 这显然不合适啊。况且，法正还是杀了人了，有了命案啊，就这么放过他了？ 诸葛亮面对他人的... 阅读全文
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诸葛亮的法治哲学主要来自于先秦的法家商鞅和韩非，以及前汉的新儒家董仲舒。 主张治国是法，礼并用，威，德并行，强调“训章明法”、“劝善黜恶”，亦即以法为体，着重公平客观原则；以德为用，着重教化为本。 以商鞅之法，却不迷信其权威主义，取其理法，结合儒家教化，把行法与教化合而为一。 为劝戒及训励蜀国官员将士，诸葛亮制定了八务、七戒、六恐、五惧等执行条章，以明令能知能行的行为准则。 经过这样的“法治革新”运动，蜀汉政权的工作效率明显提高，吏治也逐渐清明。 法正忍不住，还是和诸葛亮探讨了起来：“昔高祖入关，约法三章，秦民知德。今君假借威力，跨据一州，初有其国，未垂惠抚；且客主之义，宜相降下，愿缓... 阅读全文
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诸葛亮摇着鹅毛扇：没办法啊，主公的盛情难却啊，我也是被他的诚意所打动。不出来也不合适啊。 法正“呸”一声：兄弟，咱甭来这一套行不行？你要真不想出来，谁也不能把你怎么样。皇帝老儿当年四请我爷爷，我们家老爷子就是不出来，不也活得好好的。你有啥了不起的啊？要不出来就别出来，想当官就别遮遮掩掩的，想清高就活出个境界，弄得不伦不类有意思吗？ 诸葛亮能说什么呢？无可反驳啊，恐怕只想找个地缝钻进去了。 在历史上，诸葛亮的名气要远远大于法正，这是无需质疑的。但不要忘了，诸葛亮真正大显身手的日子是在刘备托孤之后，而我们现在说的诸葛亮是在刘备刚刚进驻四川不久。这时候，诸葛亮还不是那个名垂千古的诸葛武侯，... 阅读全文