概率论12 矩与矩生成函数

　　我们重新回到对单随机变量分布的研究。描述量是从分布中提取出的一个数值，用来表示分布的某个特征。之前使用了两个描述量，即期望和方差。在期望和方差之外，还有其它的描述量吗？

斜度

　　值得思考的是，期望和方差足以用来描述一个分布吗？如果答案是可以，那么我们就没有必要寻找其它描述量的。事实上，这两个描述量并不足以完整的描述一个分布。

　　我们来看两个分布，一个是指数分布:　　它的期望为E(x)=1，方差为D(x)=1。

　　们用Y = 2-X来获得一个新的随机变量，及其分布:　　该密度曲线与原来的密度曲线关于直线X=1对称，与原来的分布有相同的期望值和方差.E(x)=1，方差为D(x)=1

我们绘制两个分布的密度曲线，如下图:


　　可以看到，即使期望值和方差保持不变，两个分布曲线明显不同。第一条曲线下的面积偏向左，而第二条曲线则向右侧倾斜。为了表达分布的这一特征，我们引入一个新的描述量，斜度(skewness)。它的定义如下:　　上面两个分布，第一条曲线向左偏斜，斜度分别为2。另一条曲线的斜度为-2。很明显，斜度的不同可以带来差别巨大的分布(即使期望和方差都相同)。

 

矩

　　观察方差和斜度的定义，　　都是X的函数的期望。它们的区别只在于函数的形式，即x-μ的乘方次数不同。方差为2次方，斜度为3次方。
　　上面的描述量都可以归为“矩”(moment)的一族描述量。类似于方差和斜度这样的，它们都是x-μ乘方的期望，称为中心矩(central moment)。 称为k阶中心矩，表示为，其中k = 2, 3, 4, ...

 

　　还有另一种是原点矩(moment about the origin)，是X乘方的期望。 称为k阶原点矩，表示为，其中k = 1, 2, 3, ...

　　期望是一阶原点矩:矩生成函数

　　除了表示中心、离散程序、斜度这些特性外，更高阶的矩可以描述分布的其它特性。矩统计中有重要的地位，比如参数估计的一种重要方法就是利用了矩。然而，根据矩的定义，我们需要对不同阶的X幂求期望，这个过程包含复杂的积分过程，并不容易。矩同样催生了矩生成函数(moment generating function)，它是求解矩的一样有力武器。

　　在了解矩生成函数之前，先来回顾幂级数(power series)。幂级数是不同阶数的乘方(比如  )的加权总和：ai是一个常数。

 

　　幂级数是数学中的重要工具，它的美妙之处在于，解析函数都可以写成幂级数的形式，比如三角函数sin(x)可以写成：　　将解析函数分解为幂级数的过程，就是泰勒分解(Taylor）。我们不再深入其具体过程。是很简单的一种函数形式，它可以无限次求导，求导也很容易。这一特性让幂级数变得很容易处理。将解析函数写成幂级数，就起到化繁为简的效果。(幂级数这一工具在数学上的用途极其广泛，它用于数学分析、微分方程、复变函数…… )

　　如果我们将幂级数的x看作随机变量X，并求期望。根据期望可以线性相加的特征，有:　　我们可以通过矩，来计算f(X)的期望。

 

　　另一方面，我们可否通过解析函数来获得矩呢？我们观察下面一个指数函数，写成幂级数的形式：　　我们再次将x看作随机变量X，并对两侧求期望，即　　即使随机变量的分布确定， 的值还是会随t的变化而变化，因此这是一个关于t的函数。我们将它记为M(t)，这就是矩生成函数(moment generating function)。对M(t)的级数形式求导，并让t等于0，可以让高阶的t的乘方消失，只留下E(x)即　　即一阶矩。如果继续求高阶导，并让t等于0，可以获得高阶的矩。　　有趣的是，多次求导系数正好等于幂级数系数中的阶乘，所以可以得到上面优美的形式。我们通过幂级数的形式证明了，对矩生成函数求导，可以获得各阶的矩。相对于积分，求导是一个容易进行的操作。

矩生成函数的性质

　　矩生成函数的一面是幂级数，我们已经说了很多。矩生成函数的另一面，是它的指数函数的解析形式。即　　在我们获知了f(x)的具体形式之后，我们可以利用该积分获得矩生成函数，然后求得各阶的矩。当然，你也可以通过矩的定义来求矩。但许多情况下，上面指数形式的积分可以使用一些已有的结果，所以很容易获得矩生成函数。矩生成函数的求解矩的方式会便利许多。

　　矩生成函数的这一定义基于期望，因此可以使用期望的一些性质，产生有趣的结果。

 

　　性质1 如果X的矩生成函数为 ，那么　　(将Y写成指数形式的期望，很容易证明该结论)

 

　　性质2 如果X和Y是独立随机变量，分别有矩生成函数Mx,My那么对于随机变量Z=X+Y有　　(基于独立随机变量乘积的期望，等于随机变量期望的乘积)