一道有意思的导论问题

　　今天看了一篇博客，说的是导论的一道课后题以及博主的解答，感觉对逻辑思维的锻炼还是很有价值的，特意引用一下。这个题目的题意是这样的：

　　有N个人，分为好人和坏人两种，每次你可以挑两个人出来让他们互相指识彼此是好还是坏。好人一定说实话，坏人会乱说。现在你要从他们里面找出一个肯定是好人的。一共有三问：(1)证明若好人数目不超过N/2，则坏人们总可以通过故意捣乱，让你找不出正确答案。(2)证明若好人数大于N/2，存在一种方法可以通过floor(N/2)次判断使问题规模缩小到最多只有原来的一半。(3)证明若好人数大于N/2，可以用theta(N)次判断找出一个好人。

 

　　证明如下：

记T=好人，F=坏人

那么两个人AB的指认结果可能为TT，TF，FT，FF。

TT对应的可能是A坏B坏，A好B好(两人都是坏人或者都是好人)

TF对应的可能是A坏B好，A坏B坏(A必然是坏人)

FT对应的可能是A好B坏，A坏B坏(B必然是坏人)

FF对应的可能是A坏B坏，A坏B好，A好B坏(一好一坏或者都坏)

　　先证明第二问，先假设N是偶数，一共是N/2对，让每对分别指认，如果结果是TT，那么两人或者都好或者都坏，随便留下一个人，如果结果是TF或者FT，可以直接排除坏人剩下一个人，如果结果是FF，两人都不留下。这样经过这个过程后，剩下的人数<=N/2。

　　接下来证明这剩下的人中好人仍然比坏人多，由于FF两人都拿下，并且拿掉的坏人肯定>=好人，由于初始好人>坏人，所以除去FF对应的人里面好人还是比坏人多，假设回答TT的里面好人有n对，坏人m对，回答FT或TF的里面有好人的p对，都是坏人的z对，那么2n+p>2m+2z+p，得到n > m + z，按照前面的步骤淘汰后剩下的好人有n+p，坏人有m+z，因为n>m+z，所以n+p>m+z，好人比坏人多。

　　接下来看N是奇数的情况，同样按照上面的步骤比较，会剩下一个单独的人，假设我们剩下的是个好人，那么那n对中好人>=坏人，最后得到n+p>=m+z，再加上剩下的这个好人，n+p>m+z，好人比坏人多；如果我们剩下的是个坏人，那么n队中好人>坏人+1，依次计算下去，还是好人比坏人多。

　　第二问就此得到证明。

　　第三问的话就明显了，递归使用上述方法，N/2+N/4+N/8...=theta(N)

　　第一问，坏人可以采取如下策略，碰到好人就说坏人，碰到坏人就说好人。这样坏人要么和好人一块被淘汰掉，要么混淆两个好人，没有确定的方法可以确保我能找到好人，只能看运气。