行列式的定义

n级排列的定义：

由$1，2，3 \cdots, n$组成的一个有序数组，称为一个n级排列。

如$1234$是一个4级排列，$4321$是另一个4级排列。可知4级排列一共有$4!$个。

逆序数的定义

n级排列$i_1i_2\cdots i_n$中，如果有较大的数$i_s$排在较小的数$i_t$前，则称$i_s$与$i_t$构成一个逆序。

排列$i_1i_2\cdots i_n$中逆序的总数称为它的逆序数，记作$N(i_1i_2\cdots i_n)$。

如$N(1234)=0，N(4321)=3+2+1=6$

n阶行列式定义为：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1,j_2\cdots j_n} (-1)^{N(j_1,j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$

上式左边通常称为行列式的记号，简记为$|a_{ij}|$或$(a_{ij})$；右边为行列式的展开式，其值为行列式的值。

其中$a_{ij}(i,j=1,2\cdots,n)$为行列式第$i$行$j$列的元素。

$\sum\limits_{j1,j2\cdots j_n}$ 表示对所有n级排列求和（共对$n!$项求和）。

---

例

2阶行列式求值

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \tag{1.1}$

先写出所有2阶排列及其逆序数：
N(12)=0;N(21)=1;

(1.1)式$=(-1)^0a_{11}a_{22}+(-1)^1a_{12}a_{21}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$