找出所有满足1/x+1/y=1/z的三元正整数解(x,y,z)
方程等价变形为:z=xy/(x+y),记d=gcd(x,y) ---- 最大公约数
于是,x=dm, y=dn, 其中gcd(m,n)=1.
紧接着,gcd(mn,m+n)=1,于是
z=dmn/(m+n), 表明(m+n)|d, 例如:d=k(m+n),k是一个正整数.
于是我们就可以得到如下解:
x=km(m+n), y=kn(m+n), z=kmn,
其中三个参数:k,m,n都是正整数.
注意:
假如a,b,c没有公因子,并且满足1/a+1/b=1/c, 于是a+b是一个完全平方数.
事实上,通过前面的解,k=1, a=m(n+m), b=n(n+m), a+b=(m+n)2
假如a,b,c满足1/a+1/b=1/c, 于是a2+b2+c2是一个完全平方数
事实上,
a² + b² + c²= k²[m²(m + n)² + n²(m + n)² + m²n²
= k²[(m + n)4 - 2mn(m + n)2 + m²n²]
= k²[(m + n)² - mn]².
作者:xueda120
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