2018四川高考数学(全国卷3)理科21题以泰勒公式为命题背景(同时深挖去年高考题)和它的另类解法的瞎谈

已知$f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x$

(2)若$x=0$是$f(x)$的极大值点，求实数$a$的值.

其实该问可以写的更简洁一点，那个“大”字可以不要，或者直接改为“若$f(x)\leqslant 0$, 求$a$的值.”

其实就是去年高考题的深挖，虽然我们也进行了，但是力度没有高考强.

2017年四川高考数学(全国卷3)理科21题第1问

已知函数$f(x)=x-1-a\ln x$

(1)若$f(x)\geqslant 0$，求$a$的值$.$

{\bf 练习(自编题)}已知不等式$2x\ln x+a(x-a)(x-1)\geqslant 0$恒成立，求实数$a$的值.

{\color{red}{\bf 分析：}}令$f(x)=2x\ln x+a(x-a)(x-1)$，则易知$f(1)=0$

$\Rightarrow f'(1)=0$(其中$f'(x)=2+2\ln x+a(x-1)+a(x-a)$)

$\Rightarrow 2+a(1-a)=0$

$\Rightarrow a=2$或$a=-1$

检验：当$a=-1$时，$f(x)=2x\ln x-(x+1)(x-1)$

$\Rightarrow f'(x)=2+2\ln x-2x=2[\ln x-(x-1)]\leqslant 0$(其中用到切线放缩“$x-1\geqslant \ln x$”)

此时，虽然$f(1)=0$，但是$x=1$并不是函数$f(x)$的最小值点{\color{red}{\bf (思考：此时发生的现象是什么？)}}

当$a=2$时，$f(x)=2x\ln x+2(x-2)(x-1)$

$\Rightarrow f'(x)=2\ln x+4x-4$(其中$f'(x)$单调递增且$f'(1)=0$)

$\Rightarrow $函数$f(x)$的草图

显然，此时$f(x)_{_{min}}=f(1)=0$，因此$a=2$符合条件。

综上可知，$a=2$.

现在对这题的另类解法进行瞎谈

想法一：当$m\rightarrow 0$时，上图$h(x)$在点$(m,h(m))$处的二阶泰勒展开$g(x)\rightarrow 2+x-\dfrac{1}{6}x^2$，

得到$a=-\dfrac{1}{6}$(还要验证，此处略去)

想法二：用邻域的思想来处理,道理自己想(计算还可以去分母，这样计算更简单，读者自己去算哈)

$f'(x)=(1+2ax)\ln(1+x)+\dfrac{ax^2-x}{1+x}\Rightarrow f'(0)=0$

恒成立，

$f''(x)=2ax\ln(1+x)+\dfrac{1+2ax}{1+x}+\dfrac{ax^2+2ax-1}{(1+x)^2}\Rightarrow f''(0)=0$

恒成立，

$f'''(x)=\dfrac{2a}{1+x}+\dfrac{2a(x+1)-(1+2ax)}{(1+x)^2}+\dfrac{(2ax+2a)(1+x)^2-2(1+x)(ax^2+2ax-1)}{(1+x)^4}\Rightarrow f'''(0)=6a+1=0$

恒成立，得到$a=-\dfrac{1}{6}$(还要验证，此处略去)

posted on 2018-06-09 17:24 狮山数学阅读(8189) 评论(0) 编辑收藏举报