2017年高考全国卷3理科数学21题(1)的做法探究

已知函数$f(x)=x-1-a\ln x$

(1)若$f(x)\geqslant 0$，求$a$的值$.$

魏刚 2017年6月8日於狮子山上

我的解法1：评卷老师会给满分吗？(道理看之前的内容)

\(f(x)\geqslant 0=f(1)\Rightarrow x=1\)是\(f(x)\)的极值点

\(\Rightarrow f'(1)=0\Rightarrow a=1\)(这仅仅是必要条件，还需要验证，此处略去)

我的解法2：切线放缩法

易证\(\ln x\leqslant x-1\)(证明略)

\((1)\)当\(a\leqslant 0\)时，$a\ln x\geqslant a(x-1)\Rightarrow x-1\geqslant a(x-1)\Rightarrow\left{

\begin{array}{ll}
x>1 \
a\leqslant 1
\end{array}
\right.\(且\)\left{
\begin{array}{ll}
0<x<1\
a\geqslant 1
\end{array}
\right.\Rightarrow a=1\(与\)a\leqslant 0$矛盾，此时无解；

\((2)\)当\(a> 0\)时，\(a\ln x\leqslant a(x-1)\)

$1^\circ x-1\leqslant a(x-1)\Rightarrow\left{

\begin{array}{ll}
x>1 \
a\geqslant 1
\end{array}
\right.\(且\)\left{
\begin{array}{ll}
0<x<1\
a\leqslant 1
\end{array}
\right.\Rightarrow a=1$；

$2^\circ x-1\geqslant a(x-1)\Rightarrow\left{

\begin{array}{ll}
x>1 \
a\leqslant 1
\end{array}
\right.\(且\)\left{
\begin{array}{ll}
0<x<1\
a\geqslant 1
\end{array}
\right.\Rightarrow a=1$；

综上可知，\(a=1.\)

我的解法3：一定不妥的解法，估计学生会这样做！(与解法1结合就是满分！道理自己想！)

先猜\(a=1\)

接着证\(\ln x\leqslant x-1\)

证明：令\(g(x)=x-1-\ln x\Rightarrow g'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}\Rightarrow g(x)\)在\((0\)，\(1)\)上单调递减，在\((1\)，\(+\infty)\)上单调递增，\(g(x)\geqslant 0\Rightarrow \ln x\leqslant x-1.\)

这种方法逻辑上存在问题，虽然答案正确\(.\)

我的解法4：有点超纲，用到洛必达法则！

\(f(x)\geqslant 0\Rightarrow x-1\geqslant a\ln x\)

构造函数\(g(x)=\dfrac{x-1}{\ln x}\Rightarrow g'(x)=\dfrac{\ln x-1-\frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\dfrac{h(x)}{\ln^2 x}\)

\(\Rightarrow h'(x)=x-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}\Rightarrow h(x)\)在\((0\)，\(1)\)上单调递减，在\((1\)，\(+\infty)\)上单调递增，

\(\Rightarrow h(x)\geqslant 0\Rightarrow g'(x)\geqslant 0\Rightarrow g(x)\)在\((0\)，\(1)\)上单调递增，在\((1\)，\(+\infty)\)上单调递增，

而且\(\lim\limits_{x \to 1 }\dfrac{x-1}{\ln x}=\lim\limits_{x \to 1 }\dfrac{1}{\frac{1}{x}}=1\)

当\(x>1\)时，\(a\leqslant \dfrac{x-1}{\ln x}\to 1(x\to 1)\)；

当\(0<x<1\)时，\(a\geqslant \dfrac{x-1}{\ln x}\to 1(x\to 1)\)；

综上可知，\(a=1.\)

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方法四：看参考答案

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