2014级绵阳零诊数学理科12题的解法
已知函数\(f(x)=x^4+4x^3+ax^2-4x+1\)的图像在\(x\)轴的上方，则\(a\)的取值范围是\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)
方法一(来自西昌熊昌进老师的做法)
\(x^4+4x^3+ax^2-4x+1>0\)恒成立\(\Rightarrow x^4+4x^3-4x+1>-ax^2\)恒成立.
(1)\(x=0\)时，\(\Rightarrow a\in\textbf{R}\)
(2)\(x\neq 0\)时，\(-a<\dfrac{x^4+4x^3-4x+1}{x^2}=x^2+4x-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow -a<x^2+\dfrac{1}{x^2}+4x-\dfrac{4}{x}=(x-\dfrac{1}{x})^2+4(x-\dfrac{1}{x})+2\)
令\(x-\dfrac{1}{x}=m\Rightarrow (x-\dfrac{1}{x})^2+4(x-\dfrac{1}{x})+2=m^2+4m+2=(m+2)^2-2\Rightarrow -a<-2\Rightarrow a>2\)
方法二(我的暴力解决法)
\(x^4+4x^3+ax^2-4x+1>0\)恒成立\(\Rightarrow x^4+4x^3-4x+1>-ax^2\)恒成立.
(1)\(x=0\)时，\(\Rightarrow a\in\textbf{R}\)
(2)\(x\neq 0\)时，\(-a<\dfrac{x^4+4x^3-4x+1}{x^2}=x^2+4x-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}\)
令\(g(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}+4x-\dfrac{4}{x}\Rightarrow g'(x)=\dfrac{2(x^4+2x^3+2x-1)}{x^3}=\dfrac{2(x^2+1)(x^2+2x-1)}{x^3}\)
令\(g'(x_0)=0\Rightarrow x_0^2+2x_0-1=0\)(若\(x_1,x_2\)是该二次方程的两根，且\(x_1<x_2\))，
则函数\(g(x)\)在\((-\infty,x_1)\)上单增，在\((x_1，0)\)上单减，在\((0,x_2)\)上单减，在\((x_2,+\infty)\)上单增，
\(\Rightarrow g(x)_{min}=g(x_0)=\dfrac{x_0^4+4x_0^3-4x_0+1}{x_0^2}=\dfrac{(x_0^2+2x_0-1)^2-2x_0^2}{x_0^2}=-2\Rightarrow -a<-2\Rightarrow a>2\)
这种暴力法虽然麻烦，但已经在高考全国卷中出现。
方法三(学生唐知乐的方法，与方法一实质一样)
\(x^4+4x^3+ax^2-4x+1>0\)恒成立\(\Rightarrow x^2(x^2+4x+a-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2})>0\)恒成立，后面步骤同上。
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