柯西不等式也是重要的消元方式(涉及2次放缩)

已知\(a\)，\(b\in\textbf{R}\)，函数\(f(x)=\text{e}^x-a\sin x\)，\(g(x)=b\sqrt x\)．
若\(y=f(x)\)和\(y=g(x)\)有公共点．
求证：\(a^2+b^2＞\text{e}\).
分析：\(\text{e}^x-a\sin x=b\sqrt x\)
\(\Longrightarrow \text{e}^x=a\sin x+b\sqrt x\)
\(\Longrightarrow \text{e}^{2x}=(a\sin x+b\sqrt x)^2\leqslant (a^2+b^2)(\sin^2 x+x)\)
\(\Longrightarrow a^2+b^2>\frac{\text{e}^{2x}}{\sin^2 x+x}>\cdots\cdots>\text{e}\)