对四川省2022年高考理科20题(2)的分析过程记录与思考 2022.6.18

忍不住将该题的第一时间思考的东西用电子文档的形式记录下来，这两周多个场合，看见对这题的解答，都出现与下图(某知名搜题网站)相同的问题：

题干信息：

设抛物线$C$：$y^2=2px$（$p>0$）的焦点为$F$，点$D$（$p$，$0$），过$F$的直线交$C$于$M$，$N$两点．当直线$MD$垂直于$x$轴时，$|MF|=3$．

（1）求$C$的方程；

（2）设直线$MD$，$ND$与$C$的另一个交点分别为$A$，$B$，记直线$MN$，$AB$的倾斜角分别为$\alpha$，$\beta$．当$\alpha-\beta$取得最大值时，求直线$AB$的方程．

思考过程：

由(1)可知$F(1,0)$，$D(2,0)$，$c:y^2=4x$，设$M(\frac{y_1^2}{4},y_1)$，$N(\frac{y_2^2}{4},y_2)$，$A(\frac{y_3^2}{4},y_3)$， $B(\frac{y_4^2}{4},y_4)$

由$M,F,N$三点共线可知,$\dfrac{y_1}{\frac{y_1^2}{4}-1}=\dfrac{y_2}{\frac{y_2^2}{4}-1}$

$\Longrightarrow (y_1-y_2)(y_1y_2+4)=0$

$\Longrightarrow y_1y_2=-4$

同理，由$M,D,A$三点共线可知,$\dfrac{y_1}{\frac{y_1^2}{4}-2}=\dfrac{y_3}{\frac{y_3^2}{4}-2}$

$\Longrightarrow (y_1-y_3)(y_1y_3+8)=0$

$\Longrightarrow y_1y_3=-8$

同理，由$N,D,B$三点共线可知,
$\dfrac{y_2}{\frac{y_2^2}{4}-2}=\dfrac{y_4}{\frac{y_4^2}{4}-2}$

$\Longrightarrow (y_2-y_4)(y_2y_4+8)=0$

$\Longrightarrow y_2y_4=-8$

我们的目标是寻找$\alpha-\beta$的最大值，问题化归为找$\tan(\alpha-\beta)$的最值。寻找角的大小有两种方案，一是几何手段，二是三角函数。三角函数的选择中($\sin\cos\tan$)由题目条件信息选正切是比较合适的。

$\tan\alpha=\dfrac{y_1-y_2}{\frac{y_1^2}{4}-\frac{y_2^2}{4}}=\dfrac{4}{y_1+y_2}$

$\tan\beta=\dfrac{y_3-y_4}{\frac{y_3^2}{4}-\frac{y_4^2}{4}}=\dfrac{4}{y_3+y_4}$

$\Longrightarrow \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\frac{4}{y_1+y_2}-\frac{4}{y_3+y_4}}{1+\frac{4}{y_1+y_2}\cdot\frac{4}{y_3+y_4}}=4\cdot\dfrac{(y_3+y_4)-(y_1+y_2)}{(y_3+y_4)(y_1+y_2)+16}$

接下来就应该是思考我们的计算方向，显然是“消元”这个恒等变换。

$\Longrightarrow y_2=-\frac{4}{y_1},y_3=-\frac{8}{y_1},y_4=2y_1$

$\Longrightarrow\tan(\alpha-\beta)=4\cdot \dfrac{(-\frac{8}{y_1}+2y_1)-(y_1-\frac{4}{y_1})}{(-\frac{8}{y_1}+2y_1)(y_1-\frac{4}{y_1})+16}=4\cdot\dfrac{(-\frac{8}{y_1}+2y_1)-(y_1-\frac{4}{y_1})}{(-\frac{8}{y_1}+2y_1)(y_1-\frac{4}{y_1})+16}$

$\Longrightarrow\tan(\alpha-\beta)=4\cdot\dfrac{y_1-\frac{4}{y_1}}{2(y_1-\frac{4}{y_1})^2+16}=\dfrac{4}{2(y_1-\frac{4}{y_1})+\frac{16}{y_1-\frac{4}{y_1}}}\in [-\dfrac{\sqrt{2}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{4}]$

这里就应该发现问题，$\tan(\alpha-\beta)$最大时是否意味着$\alpha-\beta$也是最大。解释清楚这个问题也就完成了这道题$\underline{\text{最精彩}}$ 的地方，后面的计算环节也就so easy!

因$\alpha,\beta$是直线的倾斜角,

$\Longrightarrow 0<\alpha<\pi,o<\beta<\pi\Longrightarrow -\pi<\alpha-\beta<\pi$

而且$-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\leqslant\tan(\alpha-\beta)\leqslant\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

故，由正切函数的图像易知，此时$\alpha-\beta$既无最大值也无最小值。

因此，我们需要对数值再解释，再思考。

$\tan\alpha=\dfrac{4}{y_1+y_2}=\dfrac{4}{y_1-\frac{4}{y_1}}$

$\tan\beta=\dfrac{4}{y_3+y_4}=\dfrac{2}{y_1-\frac{4}{y_1}}$

$\Longrightarrow \alpha$与$\beta$同为锐角或同为钝角。

$(\mathrm{i})\;$当$\alpha$与$\beta$同为锐角$\Longrightarrow 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2}<-\beta<0\Longrightarrow -\dfrac{\pi}{2}<\alpha-\beta<\dfrac{\pi}{2}$

$(\mathrm{ii})$当$\alpha$与$\beta$同为钝角$\Longrightarrow \dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi, -\pi<\beta<-\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow -\dfrac{\pi}{2}<\alpha-\beta<\dfrac{\pi}{2}$

$\Longrightarrow$ 当 $\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$时，$\alpha-\beta$取得最大值。此时， $y_1-\frac{4}{y_1}>0$ 且 $(y_1-\frac{4}{y_1})^2=8$

$\Longrightarrow y_1-\frac{4}{y_1}=2\sqrt{2}\Longrightarrow 2\sqrt{2}y_1 -y_1^2=-4\Longrightarrow \tan\beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Longrightarrow$直线$AB:y-y_4=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-\dfrac{y_4^2}{4})$
$\Longrightarrow$直线$AB:y-2y_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-y_1^2)$

$\Longrightarrow$直线$AB:\sqrt{2}y-2\sqrt{2}y_1 =x-y_1^2$

$\Longrightarrow$直线$AB:x-\sqrt{2}y+2\sqrt{2}y_1 -y_1^2=0$

$\Longrightarrow$直线$AB:x-\sqrt{2}y-4=0$

最后总结一下：

1.对数据的原生态，对数据的视元，对数据的结构形态分析，对数据的图像形态分析，$\cdots$等等，都是我们计算过程中要关注的环节，计算不能埋头苦干，要反思。 这几年高考圆锥曲线的敲黑板地方，频繁出现。

2.已知三角函数值求角，分情况讨论，在这道圆锥曲线题的解答过程中出现，是非常精彩的。

3. 这道题中涉及的二手结论：直线$MN$与直线$AB$的斜率关系；直线$AB$过定点$\cdots$意识到这些二手结论，对这题有一定简化计算的作用，但作用有限。我们还是应该注重通法，在最自然的想法中遇见的问题，用最朴实的手段去化解它。我想这也就体现我们的数学素养吧！

4. 如果你是研究型学者，命题老师或数学竞赛的同学，可能要关注它的命题背景：平面几何中的蝴蝶定理，以及它在圆锥曲线中的推广。

下图可以拖动点$M$观察效果

百度一下“蝴蝶定理”