对四川省2022年高考理科20题(2)的分析过程记录与思考 2022.6.18
忍不住将该题的第一时间思考的东西用电子文档的形式记录下来，这两周多个场合，看见对这题的解答，都出现与下图(某知名搜题网站)相同的问题：
题干信息：
设抛物线\(C\)：\(y^2=2px\)（\(p>0\)）的焦点为\(F\)，点\(D\)（\(p\)，\(0\)），过\(F\)的直线交\(C\)于\(M\)，\(N\)两点．当直线\(MD\)垂直于\(x\)轴时，\(|MF|=3\)．
（1）求\(C\)的方程；
（2）设直线\(MD\)，\(ND\)与\(C\)的另一个交点分别为\(A\)，\(B\)，记直线\(MN\)，\(AB\)的倾斜角分别为\(\alpha\)，\(\beta\)．当\(\alpha-\beta\)取得最大值时，求直线\(AB\)的方程．
思考过程：
由(1)可知\(F(1,0)\)，\(D(2,0)\)，\(c:y^2=4x\)，设\(M(\frac{y_1^2}{4},y_1)\)，\(N(\frac{y_2^2}{4},y_2)\)，\(A(\frac{y_3^2}{4},y_3)\)， \(B(\frac{y_4^2}{4},y_4)\)
由\(M,F,N\)三点共线可知,\(\dfrac{y_1}{\frac{y_1^2}{4}-1}=\dfrac{y_2}{\frac{y_2^2}{4}-1}\)
\(\Longrightarrow (y_1-y_2)(y_1y_2+4)=0\)
\(\Longrightarrow y_1y_2=-4\)
同理，由\(M,D,A\)三点共线可知,\(\dfrac{y_1}{\frac{y_1^2}{4}-2}=\dfrac{y_3}{\frac{y_3^2}{4}-2}\)
\(\Longrightarrow (y_1-y_3)(y_1y_3+8)=0\)
\(\Longrightarrow y_1y_3=-8\)
同理，由\(N,D,B\)三点共线可知,
\(\dfrac{y_2}{\frac{y_2^2}{4}-2}=\dfrac{y_4}{\frac{y_4^2}{4}-2}\)
\(\Longrightarrow (y_2-y_4)(y_2y_4+8)=0\)
\(\Longrightarrow y_2y_4=-8\)
我们的目标是寻找\(\alpha-\beta\)的最大值，问题化归为找\(\tan(\alpha-\beta)\)的最值。寻找角的大小有两种方案，一是几何手段，二是三角函数。三角函数的选择中($ \sin\cos\tan $)由题目条件信息选正切是比较合适的。
\(\tan\alpha=\dfrac{y_1-y_2}{\frac{y_1^2}{4}-\frac{y_2^2}{4}}=\dfrac{4}{y_1+y_2}\)
\(\tan\beta=\dfrac{y_3-y_4}{\frac{y_3^2}{4}-\frac{y_4^2}{4}}=\dfrac{4}{y_3+y_4}\)
\(\Longrightarrow \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\frac{4}{y_1+y_2}-\frac{4}{y_3+y_4}}{1+\frac{4}{y_1+y_2}\cdot\frac{4}{y_3+y_4}}=4\cdot\dfrac{(y_3+y_4)-(y_1+y_2)}{(y_3+y_4)(y_1+y_2)+16}\)
接下来就应该是思考我们的计算方向，显然是“消元”这个恒等变换。
\(\Longrightarrow y_2=-\frac{4}{y_1},y_3=-\frac{8}{y_1},y_4=2y_1\)
\(\Longrightarrow\tan(\alpha-\beta)=4\cdot \dfrac{(-\frac{8}{y_1}+2y_1)-(y_1-\frac{4}{y_1})}{(-\frac{8}{y_1}+2y_1)(y_1-\frac{4}{y_1})+16}=4\cdot\dfrac{(-\frac{8}{y_1}+2y_1)-(y_1-\frac{4}{y_1})}{(-\frac{8}{y_1}+2y_1)(y_1-\frac{4}{y_1})+16}\)
\(\Longrightarrow\tan(\alpha-\beta)=4\cdot\dfrac{y_1-\frac{4}{y_1}}{2(y_1-\frac{4}{y_1})^2+16}=\dfrac{4}{2(y_1-\frac{4}{y_1})+\frac{16}{y_1-\frac{4}{y_1}}}\in [-\dfrac{\sqrt{2}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{4}]\)
这里就应该发现问题，\(\tan(\alpha-\beta)\)最大时是否意味着\(\alpha-\beta\)也是最大。解释清楚这个问题也就完成了这道题\(\underline{\text{最精彩}}\) 的地方，后面的计算环节也就so easy!
因\(\alpha,\beta\)是直线的倾斜角,
\(\Longrightarrow 0<\alpha<\pi,o<\beta<\pi\Longrightarrow -\pi<\alpha-\beta<\pi\)
而且\(-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\leqslant\tan(\alpha-\beta)\leqslant\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
故，由正切函数的图像易知，此时\(\alpha-\beta\)既无最大值也无最小值。
因此，我们需要对数值再解释，再思考。
\(\tan\alpha=\dfrac{4}{y_1+y_2}=\dfrac{4}{y_1-\frac{4}{y_1}}\)
\(\tan\beta=\dfrac{4}{y_3+y_4}=\dfrac{2}{y_1-\frac{4}{y_1}}\)
\(\Longrightarrow \alpha\)与\(\beta\)同为锐角或同为钝角。
\((\mathrm{i})\;\)当\(\alpha\)与\(\beta\)同为锐角\(\Longrightarrow 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2}<-\beta<0\Longrightarrow -\dfrac{\pi}{2}<\alpha-\beta<\dfrac{\pi}{2}\)
\((\mathrm{ii})\)当\(\alpha\)与\(\beta\)同为钝角\(\Longrightarrow \dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi, -\pi<\beta<-\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow -\dfrac{\pi}{2}<\alpha-\beta<\dfrac{\pi}{2}\)
\(\Longrightarrow\) 当 \(\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)时，\(\alpha-\beta\)取得最大值。此时， \(y_1-\frac{4}{y_1}>0\) 且 \((y_1-\frac{4}{y_1})^2=8\)
$\Longrightarrow y_1-\frac{4}{y_1}=2\sqrt{2}\Longrightarrow 2\sqrt{2}y_1 -y_1^2=-4\Longrightarrow \tan\beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $
\(\Longrightarrow\)直线\(AB:y-y_4=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-\dfrac{y_4^2}{4})\)
\(\Longrightarrow\)直线\(AB:y-2y_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-y_1^2)\)
\(\Longrightarrow\)直线\(AB:\sqrt{2}y-2\sqrt{2}y_1 =x-y_1^2\)
\(\Longrightarrow\)直线\(AB:x-\sqrt{2}y+2\sqrt{2}y_1 -y_1^2=0\)
\(\Longrightarrow\)直线\(AB:x-\sqrt{2}y-4=0\)
最后总结一下：
1.对数据的原生态，对数据的视元，对数据的结构形态分析，对数据的图像形态分析，\(\cdots\)等等，都是我们计算过程中要关注的环节，计算不能埋头苦干，要反思。 这几年高考圆锥曲线的敲黑板地方，频繁出现。
2.已知三角函数值求角，分情况讨论，在这道圆锥曲线题的解答过程中出现，是非常精彩的。
3. 这道题中涉及的二手结论：直线\(MN\)与直线\(AB\)的斜率关系；直线\(AB\)过定点\(\cdots\)意识到这些二手结论，对这题有一定简化计算的作用，但作用有限。我们还是应该注重通法，在最自然的想法中遇见的问题，用最朴实的手段去化解它。我想这也就体现我们的数学素养吧！
4. 如果你是研究型学者，命题老师或数学竞赛的同学，可能要关注它的命题背景：平面几何中的蝴蝶定理，以及它在圆锥曲线中的推广。
