2021年四川高考理科数学21题

已知\(a>0\)且\(a\neq 1\)，函数\(f(x)=\frac{x^a}{a^x}(x>0)\).

\((1)\)当\(a=2\)时，求\(f(x)\)的单调区间；

\((2)\)若曲线\(y=f(x)\)与直线\(y=1\)有且只有两个交点，求\(a\)的取值范围.

分析：两种方法都需要同学们自己下来完善哈
法一：对函数\(f(x)\)硬怼，\(\cdots \Rightarrow\cdots \Rightarrow\)

\(\frac{(\frac{a}{\ln a})^a}{a^{\frac{a}{\ln a}}}>1\)

\(\frac{(\frac{a}{\ln a})^x}{a^{\frac{a}{\ln a}}}>1\Rightarrow(1-\frac{1}{\ln a})\ln a>\ln(\ln a\))

法二：同构

\(\frac{x^a}{a^x}=1\Rightarrow x^a=a^x\Rightarrow a\ln x=x\ln a\)其余略。