成都市2020-2021学年度高二(上)期末理科数学22题(2)的另类解法(点差法的哥哥与姐姐)

点$E$为$x$轴正半轴上的一点，过点$E$的直线交抛物线$C$：$y^2=4x$于$A$、$B$两点，$F$为$C$的焦点，

直线$AF$、$BF$分别与抛物线$C$交于异于$A$、$B$的$P$、$Q$两点.当直线$AB$，$PQ$的斜率都存在时，分别记为$k_{_1}$、$k_{_2}$.

若$k_{_2}=2k_{_1}$，求点$E$的坐标.

另类解法：

记\(A(\frac{y^2_{_A}}{4}\)，\(y_{_A})\)，\(B(\frac{y^2_{_B}}{4}\)，\(y_{_B})\)，\(P(\frac{y^2_{_P}}{4}\)，\(y_{_P})\)，\(Q(\frac{y^2_{_Q}}{4}\)，\(y_{_Q})\)，\(E(t\)，\(0)\)，则

\(A\)，\(F\)，\(P\)三点共线\(\Rightarrow\cdots\Rightarrow y_{_A}\cdot y_{_p}=-4\cdots(1)\)

\(B\)，\(F\)，\(Q\)三点共线\(\Rightarrow\cdots\Rightarrow y_{_B}\cdot y_{_Q}=-4\cdots(2)\)

\(A\)，\(E\)，\(B\)三点共线\(\Rightarrow\frac{y_{_A}}{\frac{y^2_{_A}}{4}-t}=\frac{y_{_B}}{\frac{y^2_{_B}}{4}-t}\Rightarrow\cdots\Rightarrow y_{_A}\cdot y_{_B}=-4t\cdots(3)\)

由\(k_{_2}=2k_{_1}\Rightarrow \frac{y_{_P}-y_{_Q}}{\frac{y^2_{_P}}{4}-\frac{y^2_{_Q}}{4}}=2\cdot\frac{y_{_A}-y_{_B}}{\frac{y^2_{_A}}{4}-\frac{y^2_{_B}}{4}}\Rightarrow\cdots\Rightarrow y_{_A}+y_{_B}=2(y_{_P}+y_{_Q})\cdots(4)\)

由\((1)\)和\((2)(3)\Rightarrow y_{_A}y_{_B}y_{_P}y_{_Q}=16\Rightarrow y_{_P}y_{_Q}=\frac{-4}{t}\cdots(*)\)

由\((1)\)和\((2)\Rightarrow y_{_A}+y_{_B}=-4(\frac{1}{y_{_P}}+\frac{1}{y_{_Q}})\Rightarrow y_{_A}+y_{_B}=-4(\frac{y_{_P}+y_{_Q}}{y_{_P}y_{_Q}})\cdots(\triangle)\)

由\((4)\)和\((*)(\triangle)\)得\(t=2\)，即\(E(2\)，\(0)\)