(条件使用不够淋漓尽致)成都市2020届三诊12题

总感觉在第一步的处理上没有将条件使用的淋漓尽致，如果将条件改动一下，同学们再做做吧！

改动：已知函数$f(x)=A\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})-1(A>0,0<\omega<1),\;f(\frac{\pi}{8})=f(\frac{29\pi}{8}),\;$且$f(x)$ 在区间$(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$上的最大值为$\sqrt{2}.\;$若对任意的$x_1,x_2\in[0,t],\;$都有$2f(x_1)\geqslant f(x_2)$ 成立$,\;$则实数$t$的最大值是$\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.$

原题：已知函数$f(x)=A\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})-1(A>0,0<\omega<1),\;f(\frac{\pi}{8})=f(\frac{5\pi}{8}),\;$且$f(x)$ 在区间$(0,\frac{3\pi}{4})$上的最大值为$\sqrt{2}.\;$若对任意的$x_1,x_2\in[0,t],\;$都有$2f(x_1)\geqslant f(x_2)$ 成立$,\;$则实数$t$的最大值是$\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.$

第一步，求\(f(x)\)的解析式，使用通法。

\(f(x)\)在区间\((0,\frac{3\pi}{4})\)上的最大值为\(\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow \frac{3\pi}{4}>\frac{\pi}{4\omega}\)且\(A-1=\sqrt{2}\)

由\(f(\frac{\pi}{8})=f(\frac{5\pi}{8})\)

\(\Rightarrow\)情况\(\ding{192}\;\;\;\)\((\omega\frac{5\pi}{8}+\frac{\pi}{4})=(\omega\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4})+2k_1\pi\)

\(\Rightarrow \omega=4k_1\)与\(0<\omega<1\)矛盾。

\(\Rightarrow\)情况\(\ding{193}\;\;\;\)\(\frac{(\omega \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4})+(\omega\frac{5\pi}{8}+\frac{\pi}{4})}{2}=\frac{\pi}{2}+k_2\pi\)

\(\Rightarrow \omega=\frac{2+8k_2}{3}\)(注意条件\(0<\omega<1\))\(\Rightarrow \omega=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow f(x)=(\sqrt{2}+1)\sin (\frac{2}{3}x+\frac{\pi}{4})-1\)

第二步，化归处理该问题。

要使\(\forall x_1,x_2\in[0,t]\)都有\(2f(x_1)\geqslant f(x_2),\;\)该问题可以化归为\(2f(t)\geqslant 2f(0)\)

\(\Rightarrow t\leqslant \frac{3}{4}\pi\)