网红题之一题多变$\;\;\text{e}^x\geqslant x^2+(\text{e}-2)x+1(x>0)$
母题
证明$:\;\;\text{e}^x\geqslant x^2+(\text{e}-2)x+1\;\;(x>0)$
注$:\;$用不同的结构变形来证明
变式1:
若$\forall x\in(0,+\infty),\;\;\text{e}^x\geqslant x^2+kx+1$ 恒成立$,\;\;$求实数$k$的取值范围$.$
注$:\;$端点效应“不端点”(仅必要不充分)问题
变式2:
若$\forall x\in(0,+\infty),\;\;\text{e}^x\geqslant a(x-a)(x-1)+\text{e}x$ 恒成立$,\;\;$求实数$a$的取值的集合$.$
注$:\;$极值点效应问题(仿“端点效应”给的名称$,$还请各位看官海涵)
变式3:
若$\forall x\in(0,+\infty),\;\;\text{e}^x\geqslant \text{e}a(x+\frac{3}{2}a)(x-1)^2+\text{e}x$ 恒成立$,\;\;$求实数$a$的取值的集合$.$
注$:\;$极值点效应“不极值”问题
变式4:
若$a>0,\;\;$证明$:\;\;\forall x\in(0,+\infty),\;\;\text{e}^x\geqslant (x-1)^2+\frac{\ln x}{a}+\frac{\ln a+2}{a}$
注$:\;$视元问题
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