成都市2019届三诊21题文科第1问(理科第2问)的另类解法

\bf{文科21题}已知函数\(f(x)=x\ln x-2ax^2+x,\;x\in \textbf{R}\)

(1)若\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)内单调递减\(,\;\)求实数\(a\)的取值范围;

另类分析：

\(\Rightarrow f'(x)=\ln x+2-4ax\leqslant 0\)

\(\Rightarrow \frac{\ln x+2}{x}\leqslant 4a\)

易证\(,\;\ln x\leqslant x-1\)

\(\Rightarrow \ln (\text{e}x)\leqslant \text{e}x-1\)

\(\Rightarrow \ln x\leqslant \text{e}x-2\)

\(\Rightarrow \frac{\ln x+2}{x}\)的最大值为\(\text{e}\)

\(\Rightarrow a\geqslant\frac{\text{e}}{4}\)

\bf{理科21题}已知函数\(f(x)=x\ln x-2ax^2+3x-a,\;a\in \textbf{Z}\)

(2)当\(x>0\)时\(,\;\)不等式\(f(x)\leqslant 0\)恒成立\(,\;\)求整数\(a\)的最小值\(.\)

另类分析：

\(\Rightarrow f(1)\leqslant 0\)

\(\Rightarrow a\geqslant 1\)

检验：

当\(a\leqslant 0\)时\(,\;f(\frac{1}{\text{e}^2})=-\frac{2}{\text{e}^2}-\frac{2 a}{\text{e}^4}+\frac{3}{\text{e}^2}-a=\frac{1}{\text{e}^2}-\frac{2 a}{\text{e}^4}-a>0\) (这步可以不要!)

当\(a=1\)时\(,\;\)易证\(f(x)\leqslant 0,\)证明略.

居然与参考答案思路一致\(,\;\)那就另外再来一种思路

\(f(x)\leqslant 0\Leftrightarrow \ln x-a(2x+\frac{1}{x})+3\leqslant 0\)

令\(h(x)=\ln x-a(2x+\frac{1}{x})+3\Rightarrow h'(x)=\cdots\cdots\)(计算量大，时间成本高，不适考场使用)