algorithm_算法分析引入的记号_复杂度分析符号

文章目录

• algorithm_算法分析引入的记号:复杂度分析符号
• • $T(n):$算法的运行时间
  • $f(n)$:输入规模和关于输入规模的函数
  • ($\Theta ,O,\Omega$):常用的三种记号:
  • • 关系小结
  • Θ(渐进紧确界)
  • $★$为什么用等号?
  • theorem:($\Theta ,O,\Omega$)
  • O记号:
  • Ω记号:
  • 等式和不等式中的渐进记号
  • o记号:
  • $\omega$记号

algorithm_算法分析引入的记号:复杂度分析符号

$T(n):$算法的运行时间

$f(n)$:输入规模和关于输入规模的函数

• $问题输入规模n$

• $输入规模的函数,形如f(n),也可以记作其他符号g(n)等$

• 输入规模的最佳概念依赖于研究的问题。

  • 对许多问题，如排序或计算离散傅里叶变换，最自然的量度是输入中的项数，
    • 例如，待排序数组的规模n,
  • 对其他许多问题，如*两个整数相乘*，输入规模的最佳量度是用通常的二进制记号表示输入所需的总位数。

• 有时，用两个数而不是一个数来描述输入规模可能更合适。

  • 例如，若某个算法的输入是一个图，则输入规模可以用该图中的顶点数和边数来描述。

($\Theta ,O,\Omega$):常用的三种记号:

• (a)$\Theta$记号限制一个函数在常量因子内的上下确界。

  • $$\begin{gathered} 如果存在正常量n_0、c_1、和c_2，使得在n及其右边, \\ 有f(n)的值总位于c_1\cdot g(n)与c_2\cdot g(n)之间或等于它们, \\ 那么记f(n)=\Theta (g(n))。 \end{gathered}$$

• (b)$O$记号为函数给出一个在常量因子内的上界。

  • $$\begin{gathered} 如果存在正常量n_o和c，使得在n及其右边， \\ f(n)的值总小于或等于cg(n)，那么记fn)=Og(n))。 \end{gathered}$$

• ©$\Omega$记号为函数给出一个在常量因子内的下界。

  • $$\begin{gathered} 如果存在正常量n_0和c，使得在n_0及其右边，f(n)的值总大于或等于cg(n)， \\ 那么记f(n)=\Omega (g(n)) \end{gathered}$$

关系小结

• $$\begin{gathered} 我们记f(n)=O(g(n))以指出f(n)是集合O(g(n))函数集合的成员 \\ 若f(n)=\Theta (g(n)),则总是有f(n)=O(g(n)), \\ 因为\Theta (渐进确界)是一个比O记号更加确界和约束明明显的概念 \\ ★按照集合论中的写法,其表达的就是\Theta (g(n))\subseteq O(g(n)) \end{gathered}$$

Θ(渐进紧确界)

$★$为什么用等号?

• $这里g(n)往往是一个简单的式子(比如n,n^2等)$

  • $函数g(n)主要用来描述边界曲线,这往往用简化的函数来描述就足够了$

• $而f(n)往往会较g(n)来的长一些,比如a{n}^2+bn+c;$

theorem:($\Theta ,O,\Omega$)

• 

• 话句话说

  • $$\begin{gathered} 对于满足f(n)=O(g(n))并且f(n)=\Omega (g(n))两个条件的 \\ 任意两个函数f(n),g(n), \\ 那么总是可以推出确界关系f(n)=\Theta (g(n)) \end{gathered}$$

  • 类似于夹逼原理

O记号:

• 该记号可以用于粗略反映描述最坏的情况

• $对于给定的函数g(n)$

• 由定义可见,对于例子$g(n)=n^2$,我们可以说$f(n)=n$属于集合$O(g(n))=O(n^2)$
• $O(g(n))是一个函数集合$
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Ω记号:

• 
  • ​ 后半句话中,应把$\Omega (n^2)视为函数f(n)的集合$

等式和不等式中的渐进记号

o记号:

$\omega$记号