PC_十进制转二进制速算+常用的2进制和10进制数/转换关系

文章目录

• 常用的2进制和10进制数/转换关系
• • 🎈密集0/1串
  • 🎈其他常用二进制数!
  • n位二进制真值最大最小值
  • • 整数
    • • 正整数
      • 负整数
    • 小数
    • • 正数小数
  • 二进制绝对值加减法
  • • 🎈二进制数幂展开(幂和)形式相互转换
    • • 例
      • 例
    • 🎈例(幂化运算处理二进制减法)
    • 手工计算(十进制转二进制数)
    • • 通用方法
      • • 例
      • 🎈🎈减权定位法
      • 减权定位法的其他形式
      • • 例如:K=27;
        • 例如:K=123
      • 十进制转二进制小结
      • • 100
        • 153
        • 178
        • 215
        • 252
        • 12345
      • 常用的减法情况
      • • K=145
        • K=230
        • A-B
        • 变形

常用的2进制和10进制数/转换关系

🎈密集0/1串

• 以下内容应当十分熟悉,而且能够逆用自如
• 包括n位最大小数/整数
• n位最小小数/整数

$$\begin{gathered} 1=2^0 \\ 10=2^1 \\ 100=4=2^2 \\ 1000=8=2^3 \end{gathered}$$

• 熟悉16进制十分有必要,对于提高计算效率和速度大有好处
  • 口诀0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
  • 为了强调9后面是A,而不是10(是但不完全是)
    • 9ABCDEF
    • $\boxed{\xcancel{9,10,A,B}}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rlr}1001& =2^3+2^0=9& =9H\\ 1010& =2^3+2^1=10& =AH\\ 1011& =2^3+2^1+2^0=11& =BH\\ 1100& =2^3+2^2=12& =CH\\ 1101& =2^3+2^2+2^0=13& =DH\\ 1110& =2^3+2^2+2^1=14& =EH\\ 1111& =2^3+2^2+2^2+2^1+2^0=15& =FH\end{array} \\ H后缀表示十六进制数 \end{gathered}$$

🎈其他常用二进制数!

• 它们通常用来展开大数为十六进制(二进制)

  • 配合减权定位法

• $$\begin{gathered} 2^{10}=1024\approx 10^3 \\ {2}^{11}=2\cdot 2^{10}=2048 \\ {2}^{12}=2^2\cdot 2^{10}=4\cdot 2^{10}=4096 \\ {2}^{15}=2^5\cdot 2^{10}=32768\approx 32\cdot 2^{10} \\ {2}^{16}=2^6\cdot 2^{10}=64\cdot 2^{10}=65536\approx 65\cdot 10^3\approx 64\cdot 10^3 \\ {2}^{20}=2^{10}\cdot 2^{10}=1048576\approx 10^6百万级别 \end{gathered}$$

n位二进制真值最大最小值

整数

正整数

$$\begin{gathered} 2^n=1\underset{n个0}{\underbrace{0\cdots 0}};(最小的(n+1)位整数) \\ {2}^n-1=\underset{n个1}{\underbrace{1\cdots 1}};(n位最大整数,n位1整数 \end{gathered}$$

负整数

• $$\begin{gathered} -2^n-1=-\underset{n个1}{\underbrace{1\cdots 1}};(n位最小负整数,n位1整数) \\ -2^0=-1;最大负数(根据需要补0) \end{gathered}$$

小数

• $纯小数(x\in (-1,1))$
  • $正小数x\in (0,1)$
  • $负小数x\in (-1,0)$

正数小数

• $$\begin{array}{rl}{2}^{-n}& =+0.\underset{n位小数}{\underbrace{0\cdots 1}};(最小的n位小数)\\ 1-2^{-n}& =+0.\underset{n位小数(n个1)}{\underbrace{1\cdots 1}};(最大小数,n位1小数)\end{array}$$

• $$\begin{array}{rl}{2}^{-n}-1& =-0.\underset{n位小数}{\underbrace{1\cdots 1}};(最小的n位小数)\\ -2^{-n}& =-0.\underset{n位小数}{\underbrace{0\cdots 1}};(最大的负n位小数)\end{array}$$

二进制绝对值加减法

• 利用下面公式(原理)将被减数拆分称

• 因子分解(指数)

  • $2^m\cdot 2^n=2^{m+n}$

    • 这是一个很有用的二进制公式

    • $$\begin{gathered} 上面公式对应的二进制形式为: \\ (1\underset{m个0}{\underbrace{0\cdots 0}}{)}_2\cdot (1\underset{n个0}{\underbrace{0\cdots 0}}{)}_2=(1\underset{m+n个0}{\underbrace{0\cdots 0}}{)}_2 \end{gathered}$$

  • $$2^n=2\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}+2^{n-1}$$

    • $2^0=1$
    • $2^1=2^0+1$

• $$\begin{gathered} \sum _{i=0}^n{2}^i=\frac{2^0(1-2^{n+1})}{1-2}=2^{n+1}-1 \\ 而: \\ \sum _{i=0}^n{2}^i=\underset{n个1}{\underbrace{1\cdots 1}} \\ {2}^{n+1}-1=\underset{n个1}{\underbrace{1\cdots 1}} \\ {2}^n-1=\underset{n-1个1}{\underbrace{1\cdots 1}} \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 2^n-1=\sum _{i=0}^{n-1}{2}^i=2^{n-1}+2^{n-2}\cdots +2^1+2^0 \\ =\left(\underset{n个1}{\underbrace{1\cdots 1}}\right) \\ {2}^n=(2^n-1)+1=(\sum _{i=0}^{n-1}{2}^i)+1 \\ =2^{n-1}+2^{n-2}\cdots +2^1+2^0+1 \\ =\left(\underset{n个1}{\underbrace{1\cdots 1}}\right)+1 \\ =\left(1\underset{n个0}{\underbrace{0\cdots 0}}\right) \end{gathered}$$

  • $$\left(1\underset{n个0}{\underbrace{0\cdots 0}}\right)=\left(\underset{n个1}{\underbrace{1\cdots 1}}\right)+1$$

🎈二进制数幂展开(幂和)形式相互转换

• $$\begin{gathered} 例如:101001_2=1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^0 \\ 1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^0=101001_2 \end{gathered}$$

  • 该方法也称为减权定位法交好用的方法,对于大数比较高效
    • 对于小数(16以内的(4位二进制数)),直接记忆对应关系会更快速
    • 对于大数,使用十六进制来代替二进制是个比较好的选择,可以提高书写效率,降低写错机率

• 幂和形式相比于二进制0/1串形式的好处在于,符号更加简洁,(省略了0的书写)

  • 特别是被计算的数比较大时($128=2^7$,已经占用了8bit的长度)
  • 系数非0的幂对应于二进制结果中的一个1

• 从幂的形式转化为0/1串

  • 推荐的做法是,根据被转换的幂和式的最高位权M,列出0~M位权列

    • 将系数为1的列先填充

    • 其余的全填充0即可

例

• 例如:$y=2^7+2^5+2^4+2^1$

  • 7	位权	6	5	4	3	2	1	0
    1	系数	0	1	1	0	0	1	0

    • $因此y=2^7+2^5+2^4+2^1=10110010_2$

例

• x=65530的二进制(十六进制)展开;

  • $$\begin{gathered} 2^{16}=65536 \\ x=65530=2^{16}-6 \\ =(2^{16}-1)-(6-1) \\ 这可以将被减数化为全1,方便减法 \\ =\mathrm{O}\mathrm{x}FFFF-\mathrm{O}\mathrm{x}5 \\ =FFF0H+(1111_2-101_2) \\ =FFF0H+1010_2=FFFA\mathrm{H} \end{gathered}$$

🎈例(幂化运算处理二进制减法)

• $$\begin{gathered} 11000_2-101_2=(2^1+2^0)\cdot 2^3-(2^2+2^0) \\ =2^4+2^3-2^2-1 \\ =2^4+(2^3-1)-2^2 \\ =2^4+(2^2+2^1+2^0)-2^2 \\ =2^4+2^1+2^0 \\ =10011_2 \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} 10010000_2-101101_2=2^7+2^4-(2^5+2^3+2^2+2^0) \\ =2^2\cdot 2^5+(2^3+2^2+2^1+2^0+1)-(2^5+2^3+2^2+2^0) \\ =(2^1+2^0)2^5+2^1+1 \\ =2^6+2^5+2^1+2^0=1100011_2 \end{gathered}$$

手工计算(十进制转二进制数)

通用方法

• 除基取余法处理整数部分
• 乘积取整法处理小数部分

例

• $将123.6875_{10}转换为二进制数$

🎈🎈减权定位法

• 减权定位法对于手工计算是较为高效的方法
  • 基本原理也是按权展开,对于二进制,十进制,十六进制内的对应关系熟练的话,可以算的很快
    • 包括十进制转二进制,二进制转十进制
    • 比如x=123
      • 分析其数量级为$10^3以内或者说10^2量级,对应二进制为2^6以及2^7左右$
      • $2^7=128,2^6=64$
      • $x_1=x-2^6=123-64=59$
      • $x_2=59-2^5=59-32=27$
      • $x_3=27-2^4=11$
      • $x_4=11-2^3-2^1-2^0=0$
      • $因此x=2^6+2^5+2^4+2^3+2^1+2^0=1111011_2$

减权定位法的其他形式

• 如果您熟练十六进制和二进制的转换,那么改进的减权定位法可以进一步加快

例如:K=27;

• $4\cdot 6=24=2^2\cdot (2^2+2^1)$
• $24+3=100_2\cdot 110_2+11_2=11000_2+11_2=11011_2$

例如:K=123

• $2^7=2^{2+5}=2^2\cdot 2^5=4\times 32=128$

• 方法1:

  • $123-3\cdot 2^5=123-3\cdot 32=123-96=27$

  • $3\cdot 2^5=11_2\cdot 100000_2=1100000_2$

  • $27=11011$

  • $123=1111011$

• 方法2:

  • $123=128-5=2^7-(2^2+2^0)$

十进制转二进制小结

• 如果大权定位可以很好的接近被转换的数,那么优先使用大权

  • 否则使用小一点的权在试一次(通常权越小,逼近效果越好,但是操作次数可能会增加)

• 补偿法(划分)

  • 153=128+2+23=1000 0000+10+(16+7)=1000 0010+10000+111=1001 1001

• 削减法

  • 153=160-7=1010 000-111=1001 1111-110

• 经验表法

  • 最快的方法:经验表法(相当于乘法口诀那样的效果)

  • 次快的方法:

    • 前两类方法比较适合跟2的幂比较接近的情况下,和容易计算
    • 经验法比较适合和相邻近2的幂比较大
    • 如果能够将常用2的幂的整数倍(十进制形式)比较熟练,那么三种方法结合,也可以达到很高的计算效率

  • 记住一些常用的2的幂的倍数:

    • 比如8的倍数系列

    • 倍数	结果	转换二进制结果
      10	80	1010*1000=101000
      11	88	1011*1000=101100
      12	96	1100*1000
      13	104	1101*1000
      14	112	1110*1000
      15	120	1111*1000

    • 16的被数系列

    • 10	160	1010*10000
      11	176	1011*10000
      12	192	1100*10000
      13	208	1101*10000
      14	224	1110*10000
      15	240	1111*10000

100

• $100=3\times 32+4=11_2\times 2^5+2^2=1100000+100=1100100_2$
• $100=12\times 8+4=1100_2\times 2^3+2^2$
  • $=1100000_2+100_2=1100100+2$

153

• 153=128+2+23=1000 0000+10+(16+7)=1000 0010+10000+111=1001 1001
• 153=160-7=16*10-7=1010 000-111=1001 111+1 -111=1001 111 - 111+1=1001 000+1=1001 001
• 153=160-7=16*10-7=1010 000-111=1001 1111-110= 1001 1001

178

• $178=16\times 10+18$
  • $=10000\times 1010+2^4+2^1$
  • $=10100000+10000+10$
  • $10110010$

215

• 215=255-40=1111 1111-10 1000=1101 0111
  • 40=32+8=10 0000+1000=10 1000

252

• $2^8=256$
• 252=256-1-3=1111 1111-11=1111 1100

12345

• $K=12\times 10^3+345$

  • $=12\times 2^{10}+57$
  • $=12\times 2^{10}+3\times 2^4+9$
    • 对于16以内的数转换为2进制很简单,到了上面这一部分基本可以结束了
  • $=1100_2\times 2^{10}+11_2\times 2^4+2^3+2^0$
  • $=11000000000000+110000+1000+1$
  • $=11000000111001$

• 从二进制到十进制可以很快速:

  • 相比于原始按权展开要快不少
  • $10101001_2=A9H=16\cdot 10+9=169$

常用的减法情况

• 在实际手算题目中,几乎都是:A>B>0求A-B
• 利用补码法可以将二进制数的减法用取反和加法的方式求解

K=145

• 145=128+2+15=1000 0000+(10+1111)=1001 0001

K=230

• 230=255-25=1111 1111 - 11001=1110 0110
  • 25=16+9=10000+1001=11001

A-B

• 补码法

  • 改写
  • 对齐
  • 还原

• A-B=(123-45)-(4*11+1)=(0111 1111 -100)-(101100+1)=0111 1011-10 1101

  • =0111 1011-0010 1101

• y=A-B=123-45=C(C(123)+C(-45))=C(0111 1011+1101 0011)=C(1 0100 1110)=C(100 1110)=78

变形

• A>B>0
  • 这种情况下,不需要计算符号位
• A=0111 1011
• B=0010 1101
• 求y=A-B
• y=C(C(A)+C(-B))=C(0111 1011+1101 0011)=C(1 0100 1110)=C(100 1110)=78