PC_规格化数及尾数相关表示形式和范围

文章目录

• 规格化浮点数以及规格化
• • 不同基数下的浮点数的规格化数判断
  • 🎈小结:规格化数和规格化的推广
  • • 🎈规格化浮点数的表示范围
  • 规格化数的补码形式
  • • 补码规格化数下的最值形式
  • 补码下的规格化操作
  • • 左规
    • • 例子
    • 右规
    • • 伪溢出
      • 例

规格化浮点数以及规格化

• 为了提高浮点数的精度,其尾数必须为规格化数。
• 🎈下面讨论的小数均为原码表示
• 如果不是规格化数,就要通过修改阶码并同时左右移尾数的办法,使其变成规格化数。
• 将非规格化数转换成规格化数的过程称为规格化。(等值转换)
  • 对于基数不同的浮点数,因其规格化数的形式不同,规格化过程也不同。

不同基数下的浮点数的规格化数判断

• 当基数为2时,尾数最高位为1的数为规格化数。

  • 设被规格化的数为$F_{r=2}$
  • 即,规格化数的尾数的绝对值不小于$\frac{1}{2}$
  • 规格化时分为左归和右归

    • 尾数左移1位($F_2$总大小相当于被乘以2,那么为了保持大小不变,必须再除以2,

      • 这可以通过将阶码减1(这种规格化称为向左规格化,简称左规);
      • 根据需要,反复执行上述操作
      • 比如对$F_2=2^3\cdot 0.001$执行2次左归操作,得到$F_2=2^1\cdot 0.1$

    • 尾数右移1位,阶码加1(这种规格化称为向右规格化,简称右规)。

      • 和左归是相反的操作
      • 比如对$F_2=2^3\cdot 111.01$执行2次右归操作,得到$F_2=2^5\cdot 0.1101$

• 当基数为4=$2^2$时,尾数的最高两位不全为零的数为规格化数。

  • 设被规格化的数为$F=F_{r=4}=4^j\cdot S_f{S}_1{S}_2\cdots S_n$

  • 规格化时,尾数左移2位,阶码减1 ;

  • 尾数右移2位,阶码加1。

  • 通俗的讲,就是规格化要考虑到基数,其指数(阶码的+1/-1)就会导致整个数F的大小乘以或者除以4

    • $4=2^2$从而造成尾数S的连续2次的移位

  • 因此,如果最高位两位$S_1{S}_2=01$,那么是无法仅仅将二进制串左移一位来消掉尾数$S_1=0$的,因为阶码变化1,整个值会变化4倍(或者说除以4);导致操作前后的值不想等,因此,只能够认为,$S_1{S}_2=01$也是属于基数r=4下的规格化数

• 当基数为8=$2^3$时,尾数的最高三位不全为零的数为规格化数。

  • 规格化时,尾数左移三位,阶码减1;
  • 尾数右移三位,阶码加1。

🎈小结:规格化数和规格化的推广

• $当基数为r=2^k时,$尾数的最高k位不全为0的浮点数是规格化数
  • 左归规格化时,尾数每左移k位,阶码减去1
  • 有规格化时,尾数每右移k位,阶码加上1
• 浮点机中一旦基数确定后就不再变了
• 而且基数是隐含的,故不同基数的浮点数表示形式完全相同。
  • 但基数不同,对数的表示范围和精度等都有影响。
  • 一般来说,基数r越大
    • 可表示的浮点数范围越大
    • 可表示的数的个数越多。
    • 但是浮点数的精度反而下降。
      • 如r = 16的浮点数,因其规格化数的尾数最高三位可能出现零,故与其尾数位数相同的r =2的浮点数相比,后者可能比前者多三位精度。

🎈规格化浮点数的表示范围

• 规格化数的表示范围和非规格化数的表示范围由所不同
• 主要变化就体现在尾数S上
• 根据上面的分析,规格化数的尾数S的绝对值有范围约束:
  • 就是规格化数F的绝对值$|S|\in [\frac{1}{R},1]$,设$R=2^k$
    • $比如,r=2,规格化后的|S|\in [\frac{1}{2},1]$
    • 对于负规格化浮点数(S<0):
      • $S\in [R^{-1}-1,R^{-1}]$
        • $例如R=4,S\in [-\frac{3}{4},-\frac{1}{4}]=[1.11_2,1.01_2]$
    • 对于正规格话数(S>0):
      • $S\in [\frac{1}{4},\frac{3}{4}]=[0.01_2,1.11_2]$

规格化数的补码形式

• 仅讨论基数为$r=2^1$的情况:

  • $规格化数x=x_0.x_1\cdots x_n的绝对值|x|\in [\frac{1}{2},1)$

    • 更具体的应该是:

      • $x\in (-1,-\frac{1}{2}]\cup [\frac{1}{2},1)$

        • 而经过特别规定,对应的真值范围成了:

        • $$x\in [-1,-\frac{1}{2})\cup [\frac{1}{2},1)$$

      • 可以去到-1是补码定点小数补码能够表示-1这一点为基础

      • 这里不讨论原码表示

    • $x>0时,x=+0.1\cdots$

      • $x\in [\frac{1}{2},1)$
      • $C(x)=T(x)=0.x_1{x}_2\cdots =0.1\cdots$
        • 其中$x_1=1$
      • $双符号位:C(x)=00.1\cdots$

    • $x<0时$

      • 根据区间的对称性:$x=-0.1\cdots$
      • $设C(-x)=C(-0.1\cdots )=b_0.b_1{b}_2\cdots =1.?$
        • $b_0$:
          • 由于$-x<0$,我们可以确定$b_0=1$
        • $b_1:$
          • cases1:$b_1=0$
            • $如果x_2\cdots x_n中部分二进制串中有1,那么C(-x)=b_1=\overline{x_1}=0$
          • cases2:$b_1=1$
            • $否则,x_1=1$就是小数数值部分的从低位到高位出现的第一个1(其余位都为0)
              • 它使得$b_1\cdots b_n=x_1\cdots x_m$
              • 即有$b_1=x_1=1$
              • 为什么是这样,查看推导
            • 这种情况下,尾数真值$x=-\frac{1}{2}$
              • $C(x)=1.10\cdots 00$
            • 🎈为了便于硬件判断,特别规定这种情况(x=$-\frac{1}{2}$)不是规格化数!
            • 🎈尾数真值为-1时,认定为是规格化数
              • 既然不是规格化数,就需要规格化
              • 在讨论算数移位的时候,我们知道,补码的符号位和第一位有效位相等时,配合阶码-1(基数r=2时),执行移位操作不会发生错误,而且保持等值
              • $这就得到了C(x)=1.10\cdots 0移位后的结果C(x)=1.0\cdots 0$
                • 这个真值恰好是-1
                • 定点小数恰好能够表示-1
                • $用双符号位表示C(x)=11.0\cdots 0$
        • 因此,综上,当x的补码形式C(x)的符号位和第一位数值位不同时,(即$x_0\ne x_1$时),该浮点数是规格化的
      • $双符号位:C(x)=11.0\cdots$

    • 总综合上述结论:当以补码形式表示的位数S的符号位和第一位数值位相异(不同)时,就是规格化数

补码规格化数下的最值形式

• 补码规格化尾数的
  • 最小负数形式(对应真值为-1),补码形式为:$1.00\cdots 0$
  • 最大负数形式为 $1.01\cdots 1$ ,
    • 而不是原码的形式 $1.10\cdots 0_{原}$(对应真值为$-\frac{1}{2}$) ,
    • $1.10\cdots 0$ 不是补码规格化数，所以规格化尾数的最大负数是 $-(0.10\cdots 0+0.0\cdots 01{)}_{真}=-0.10\cdots 01_{真}$ ,
    • 而 $(-0.10\cdots 01{)}_{补}=1.01\cdots 1$

补码下的规格化操作

• 更加前面的讨论和总结,我们可以轻松的判断补码下的规格化数应该是什么样的
• 但是为进行规格化操作,必须会判断定的数(补码)是哪一种情况:
  • 绝对值太小:需要进行左归(尾数倍增基数,阶码减小)
  • 绝对值太大,(伪)溢出:需要进行右归(尾数)

左规

• 当尾数的第一位数值位和符号位相同(如果是双符号位,双符号位同时相同)

  • 即:尾数出现:
    • $00.0\cdots$
    • $11.1\cdots$
    • 如何推导这个结论?
      • 我们依然从绝对值大小(范围)的角度入手
        • 由对称性,可以得到对应于尾数为负数的形式
        • 当$S\in (0,\frac{1}{2})$属于需要左归的情况
          • $S=+0.0\cdots$
          • $补码:C(S)=0.0\cdots$
          • 双符号位:$00.0\cdots$
        • $-S\in (-\frac{1}{2},0)$
          • $C(-S)=1.1\cdot \cdots$
          • 双符号位:$11.1\cdots$
  • 是尾数绝对值太小的表现,应该执行左归
    • 左归时,将尾数左移,阶码减一

例子

• $$\begin{gathered} 某个尾数求和结果为: \\ (x+y{)}_{补}=00,11;11.1001 \\ 分号前面是双符号位的阶码(补码形式),分号后面是尾数补码 \\ 容易发现,双符号位的连个bit是不同的(发生了溢出) \\ 最高位为0,发生的是正溢出(结果超过1了) \\ 现在需要进行右归(右移1位) \\ 得到(x+y{)}_{补}^{\prime }=00,10;11.0010 \\ 即:x+y=-0.1110_2\cdot 2^2 \end{gathered}$$

右规

• 如果非规格化尾数出现上述两类情况之外的情况:
  • $01.\cdots$
  • $10.\cdots$
  • 那么是尾数绝对值太大导致的定点溢出,需要进行右移

伪溢出

• 当尾数出现01.x x…×或10.x x…x时,表示尾数(顶点数)溢出,这在定点加减运算中是不允许的,
• 但在浮点运算中这不算溢出,可通过右规处理。
  • 右规时尾数右移一位,阶码加1

例

• $$\begin{gathered} 某个尾数求和结果为: \\ (x+y{)}_{补}=00,10;01.0010 \\ 分号前面是双符号位的阶码(补码形式),分号后面是尾数补码 \\ 容易发现,双符号位的连个bit是不同的(发生了溢出) \\ 最高位为0,发生的是正溢出(结果超过1了) \\ 现在需要进行右归(右移1位) \\ 得到(x+y{)}_{补}^{\prime }=00,11;00.1001 \\ 即:x+y=0.1101_2\cdot 2^3 \end{gathered}$$