PC_浮点数表示/定点数和浮点数比较/溢出/C语言中的浮点数类型

文章目录

• 浮点数
• • ref
  • 浮点数表示
  • • 浮点数形式分析
    • 书面形式的一般浮点数(真值)
    • 小数:纯小数和带小数(混小数)
    • • 🎈二进制规格化浮点数
    • 计算机中的二进制浮点数形式
    • • 非标准形式讨论浮点数
      • IEEE标准中的结构
  • 🎈🎈🎈浮点数的表示范围(非规格化时)
  • • n位数值位的小数和整数最值
    • 🎈浮点数表示范围和溢出
  • 🎈规格化数
• 🎈🎃定点数vs浮点数
• IEEE 754标准的浮点数格式
• • • 表格
    • 例
    • 从真值算得其IEEE754表示形式
    • 从IEEE754表示形式计算其表示的真值
  • 🎈IEEE 754浮点数的表示范围
  • • IEEE浮点数的精度和范围
    • 阶码全为0/1的情况
    • 阶码不为全0也不为全1的情况
    • • 短浮点数
      • 长浮点数
  • 机器零
  • 🎈移码Offset binary
  • • 移码和真值相互转换以及表示范围
    • • 例
• C语言和浮点数类型

浮点数

• 根据小数点的位置是否固定,分为定点数和浮点数

• 定点数采用不同机器数编码(原码/补码/移码)的情况

  • 定点数

    • 定点补码整数表示整数

  • 浮点数

    • 浮点数不再使用补码来表示,而是用原码和移码组合表示
      • 定点原码小数表示浮点数的尾数(定点小数)
      • 移码表示浮点数阶码部分(移码整数)

  • 参考IEEE 754标准

ref

• PC_定点数/浮点数的溢出:上溢和下溢_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客_上溢和下溢有什么区别

浮点数表示

• 浮点数表示法是指以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动。
• 这样，在位数有限的情况下，既扩大了数的表示范围，又保持了数的有效精度。
  • 例如，用定点数表示电子的质量或太阳的质量是非常不方便的。
  • 使用浮点是可以较好表示

浮点数形式分析

• 一个浮点数可以分为两大部分:阶数;尾数

  • 阶数:{(阶符),(阶码数值)};

    • 阶符
    • 阶码

  • 尾数:{(数符).(数码数值)}

    • 数符
    • 数码

  • 计算机中,基数是默认值为2,不用写出来

书面形式的一般浮点数(真值)

• 这个部分是以真值的形式讨论(真值的二进制形式)

  • 某些语境下,是以真值的机器码表示的(比如补码/原码/移码)
  • 不同机器编码下得到的规律不一样,不要混淆了,但真值形式是根本

• 对于r进制的浮点数,可以表示为:

  • $$N=S\times r^j$$

    • $其中$
      • $S是尾数$(可正可负)
        • 可以采用定点原码小数表示
      • $j$为阶码(指数)(也就是基数r的指数)(可正可负)
        • 可以采用移码整数
      • $r$是基,在计算机中,通常r=2,即二进制(也可以去2的其他幂,比如4,8,…)

• 在计算机中,为了提高数据的精度,以及便于比较

  • 规定浮点数的尾数用纯小数的形式
    • $S\in [0,1)$
    • $比如1表示为0.1\times 10$
  • 比如$a=0.11\times 2^{101_2}$
    • $b=0.011\times 2^{101_2}$
    • 可以看到,表示相同值的两个数a,b的尾数部分0.11和0.011占用了不同位数的小数位
    • 为进一步提高精度(在有限的机器字长位数下),一般采用规格化数
      • 将在规格化数部分讨论

小数:纯小数和带小数(混小数)

• 小数，是实数的一种特殊的表现形式。
  • 所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。
• 整数部分是零的小数叫做纯小数（pure decimal），
  • 如0.3，0.48，0.999等。
• 整数部分不为零的小数叫做带小数（mixed decimal）
• reference link

🎈二进制规格化浮点数

• 为了进一步规范浮点数(保证尽可能高的精度)提出规格化数(浮点数)

  • 最高位是1的浮点数就是规格话数,例如
    • $a=0.11\times 2^{101_2}$,而b就不是
    • $c=101.11\times 2^{101_2}$这个也不是,因为它位数是纯小数的条件的都不满足

• 对于基数不同的浮点数,其规格化数的标准有所不同,规格化的过程也有所不同

计算机中的二进制浮点数形式

• 本节依然是从真值的二进制形式讨论

非标准形式讨论浮点数

• 通常,机器中的浮点数形如:

  • $$F=j_f\underset{阶码(数值部分)}{\underbrace{j_1\cdots j_m}}{S}_f\underset{尾数的数值部分}{\underbrace{S_1\cdots S_n}}$$

    • 该形式可以看做两大部分:

      • $阶码(也叫(基的)指数)j=j_f{j}_1\cdots j_m$

        • $j_f是阶符$
        • j是整数,反映了浮点数的表示范围和小数点的位置

      • 尾数$S=S_f{S}_1\cdots S_n$

        • $S_f$是数符
        • S是纯小数,反映了浮点数的精度,位数的符号$S_f$代表了浮点数的正负

      • 小数点:

        • 尾数是纯小数,其小数点位于$S_j$和$S_1$之间
        • 阶码j是定点整数,也有自己的小数点(位于$j_m$和$S_f$之间)
          • 但是实际决定F的取值范围的,是阶码整体j

  • 回顾书面形式的浮点数:$F=S\times r^j$

    • S就是尾数
    • j就是阶码
    • 基数r被默认为2

IEEE标准中的结构

• 和非标准结构大致类似,但是数符$S_f$被提前了到浮点数结构的第一部分(参看文末部分)

🎈🎈🎈浮点数的表示范围(非规格化时)

• 设浮点数阶码的数值位取m位,尾数的数值位取n位,当浮点数为非规格化数时,它在数轴上的表示范围:

• $浮点数=阶数\times 尾数$

n位数值位的小数和整数最值

• 下面的讨论是基于真值(与具体机器数编码相独立)

• 纯小数:

  • $$\begin{gathered} |p|\in (0,1) \\ |p|\in [2^{-n},1-2^{-n}] \\ -|p|\in [2^{-n}-1,-2^{-n}] \\ {2}^{-n}=0.\underset{n-1个0,末尾1}{\underbrace{0\cdots 01}} \\ 1-2^{-n}=(0.\underset{n个1}{\underbrace{1\cdots 11}}{)}_2=\sum _{i=1}^n{2}^{-i} \end{gathered}$$

  • 纯小数对应于浮点数的尾数(的数值位部分)

• 整数:

  • $$\begin{gathered} |z|=0,1,2,\cdots ,2^n-1 \\ -|z|=1-2^n,\cdots 0 \end{gathered}$$

  • 对应于浮点数阶码(数值位部分)

• 设浮点数$F=j_f{j}_1\cdots j_m{S}_f{S}_1\cdots Sn$

  • 即,阶码数值位部分有m位,尾数数值部分n位

  • 浮点数的取值范围具有对称性

  • 下面仅对正数的一侧做讨论

    • 最小浮点数(浮点数最小绝对值):

      • 注意到,浮点数的正负性是由尾数的数符位$S_f$决定的

        • 阶码总是正数(尽管阶符可以是负的
          • 指数函数($2^j$总是有大于0的函数值,$2^x$是个递增函数,
          • 所以,当j取得最小值$2^{-1\cdots 11}=2^{-(2^m-1)}$
          • $同时尾数S取到最小值0.0\cdots 01=2^{-n}$

      • 最小阶码($2^{-(2^m-1)}$乘以最小尾数:(最接近0的正浮点数数)

        • $J_{Min}|S{|}_{Min}=2^{-(2^m-1)}{2}^{-n}$

      • $最大阶码(2^{(+(2^m-1))})乘以最大尾数(2^{-n}-1)$

        • $J_{Max}|S{|}_{Max}=2^{(2^{m-1})}(2^{-n}-1)$

  • 小结:

    • 以上就是正半轴的情况,负半轴取符号得到对称的边界值
    • 最大负浮点数:(最接近0的负浮点数)
      • $-J_{Min}|S{|}_{Min}=-(2^{-(2^m-1)}{2}^{-n})$
    • 最小负浮点数:(最远离0的负浮点数)
      • $-J_{Max}|S{|}_{Max}=-(2^{(2^{m-1})}(2^{-n}-1))$

  • 特点:

    • 观察上述最值,发现阶码的数值部分绝对值是最大的m位二进制数

      • 🎈以下的0/1串都是真值的二进制形式

      • $$\begin{gathered} 2^{-1\cdots 11}\times 0.0\cdots 01 \\ {2}^{+1\cdots 11}\times 0.1\cdots 01 \\ -2^{-1\cdots 11}\times 0.0\cdots 01 \\ -2^{+1\cdots 11}\times 0.1\cdots 01 \end{gathered}$$

  ​

🎈浮点数表示范围和溢出

• 判断浮点数溢出,是通过比较阶码来进行

• 上溢:

  • 这个好理解,当浮点数的阶码大于最大阶码时,就是发生上溢,这种情况下机器停止运行,进行中断溢出处理
  • 正上溢和负上溢,绝对值都是向无穷大方向发展而发生的

• 下溢:

  • 当浮点数阶码小于最小阶码时,称为下溢
  • 正下溢和负下溢的绝对值都是向0靠近而发生的
  • 注意,浮点数可以取到0
    • 但是,由于精度的限制(尾数位数有限),很接近0但不等于0的数是表示不了的(存在一个类似于盲区的区域)
    • 即,在值落在0的邻域时,可能发生下溢
    • 此时的数绝对值十分小,通常的,将尾数各位强制置为0,按照机器零处理

🎈规格化数

• PC_规格化数及尾数相关表示形式和范围_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客_规格化尾数

🎈🎃定点数vs浮点数

• 当浮点机和定点机中的位数相同
  • 范围:浮点数的表示范围比定点数大得多
    • 定点数和浮点数都可以表示
      • 整数
      • 小数
    • 在定点机中,由于小数点位置固定不变,当机器处理的数不是纯小数或者纯整数的时候,需要乘以一个比例因子,否则会产生溢出
    • 采用定点小数的机器称为定点机
      • 数值部分的位数n决定了定点机中数的表示范围
      • 如果机器数采用原码:
        • 小数定点机中的表示范围是$-(1-2^{-n})\sim 1-2^{-n}$(对称)
        • 整数定点机中数的表示范围:$-(2^n-1)\sim 2^n-1$
  • 精度:当浮点数是规格化数时,其相对进度也比定点数高得多
    • 这要分情况:比如对于x=0.1001011 101010…,y=0.00000000010110…
      • 对于两台相同字长(8位)的定点机A和浮点机B:
      • x用A表示精度更高
        • 因为x已经是规格化数,定点机的所有bit都可以用来表示尾数的各个位数,可以达到最高精度
      • y用B表示精度更高
        • 前提是y要进行规格化,这样可以将有效位表示到更后面.
  • 运算效率:定点数运算比较快
    • 浮点数运算要分为阶码部分和位数部分的运算
    • 而且运算结果都要规格化,(浮点数的运算步骤比定点数多)
  • 溢出判断:
    • 浮点数的溢出判断是对规格化数的阶码进行判断
    • 定点数是对数值本身进行判断
      • 比如,小数定点机中的数,其绝对值如果大于1,就是溢出
        • 为了避免溢出,处理非纯小数前,需要选择比例因子,比较麻烦
        • 原因是定点数的小数点被规定在符号位之后,且不可移动
      • 浮点数的表示范围大,仅当上溢才会停止运算,一般不考虑比例因子的选择
  • 定点机可以通过软件实现浮点运算或者外加浮点扩展硬件

IEEE 754标准的浮点数格式

$$\begin{gathered} \begin{array}{lll}{S}_f& E& S_{1\sim n}\\ 数符& 阶码部分(移码整数)& 尾数数值位(用定点原码)\end{array} \\ \begin{array}{lcc}{S}_f(数符)& \text{ 阶码(含阶符) }& \text{ 尾数 }\end{array} \end{gathered}$$

• $$\begin{array}{lcccc}& \text{ 符号位 }S& \text{ 阶码 }& \text{ 尾数 }& \text{ 总位数 }\\ \text{ 短实数 }& 1& 8& 23& 32\\ \text{ 长实数 }& 1& 11& 52& 64\\ \text{ 临时实数 }& 1& 15& 64& 80\end{array}$$

• 其中,S为数符,它表示浮点数的正负,但与其有效位(尾数)是分开的。

• 阶码用移码表示,阶码的真值都被加上一个常数(偏移量),

• 如短实数,长实数和临时实数的偏移量用十六进制数表示分别为7FH,3FFH和3FFFH。
• 尾数部分通常都是规格化表示,即非“O”的有效位最高位总是“1”,但在IEEE标准中,有效位呈如下形式。
  1▲ffff……-fff
  其中▲表示假想的二进制小数点。
• 在实际表示中,对短实数和长实数,这个整数位的1省略,称隐藏位;
• 对于临时实数不采用隐藏位方案

表格

Name	Common name	Base	Significand bits[b] or digits	Decimal digits	Exponent bits	Decimal E max	Exponent bias[14]	E min	E max	Notes
binary16	Half precision	2	11	3.31	5	4.51	$2^4-1=15$	−14	+15	not basic
binary32	Single precision	2	24	7.22	8	38.23	$2^7-1=127$	−126	+127
binary64	Double precision	2	53	15.95	11	307.95	$2^{10}$−1 = 1023	−1022	+1023
binary128	Quadruple precision	2	113	34.02	15	4931.77	$2^{14}$−1 = 16383	−16382	+16383
binary256	Octuple precision	2	237	71.34	19	78913.2	$2^{18}-1=262143$	−262142	+262143	not basic
decimal32		10	7	7	7.58	96	101	−95	+96	not basic
decimal64		10	16	16	9.58	384	398	−383	+384
decimal128		10	34	34	13.58	6144	6176	−6143	+6144

例

• 下表列出了十进制数178.125的实数表示。

• 实数表示	数值
  原式十进制数	178.125
  二进制数	10110010.001
  二进制浮点数表示	$1.0110010001\times 2^{111}$

• 短实数表示

  • 符号	移码的阶码	有效位
    0	00000111+01111111=10000110	01100100010000000000000

从真值算得其IEEE754表示形式

• 设真值为x
  • $例如x=+178.125$,采用32为IEEE754规格的32位规格(8位用来保存阶码)
  • $真值的二进制形式=+10110010.001$
    • 按原码规格化该浮点数:
      • $x=0.10110010001\times 2^{+8}$
      • $x=1.0110010001\times 2^{+7}$
        • 可以将这种形式称为IEEE754规格化
        • 这种形式的规格化数落在[1,2)区间内
        • 即,开头总是1,这样可以不用可以用个位(bit)来存储这个1,从而可以而外的多表示移位小数(提高一点精度)
        • 其中:
          • $阶码E=+7$
          • $尾数数值位M=.0110010001$
            • 由于IEEE的隐藏1处理,因此尾数最终从$1.0110010001变为.0110010001$
            • 小数点还是先出来,但是机器中不保存小数点
            • $0⩽M<1$
  • 基于IEEE规格化形式的二进制串,进行阶码和位数的机器数化编码:
    • 符号位:整数用0表示,负数用1表示,本例为正数,用0编码($S_f=0$)
    • 用移码来编码基数的指数(阶码),$E=O(+7)=2^7+7=10000000_2+111_2=10000111$
    • 用定点小数原码来编码IEEE规格化尾数数值部分,$M=T(M)=0110010001$

从IEEE754表示形式计算其表示的真值

• 设B=偏置值:

  • $$\begin{gathered} B_i=\{\begin{array}{ll}127,& \text{i=1,single precision,8bit阶码}\\ 1023,& \text{i=2,double precision,11bit阶码}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \\ x& =(-1{)}^{S_f}\times 1.M\times 2^{E-B_i}\\ |x|& =1.M\times 2^{E-B_i}\end{array} \\ 其中,1.M=1+M,(M\in [0,1)) \\ 注意这里的1.M的1不是符号位(符号位是用单独的数符S_f表示的) \\ IEEE的规格化尾数的绝对值(换原被隐藏的1),也就是(1.M)取值落在[1,2)的范围内 \\ 1.M是非负的(或者是无符号的),它的符号位在头部(S_f) \end{gathered}$$

🎈IEEE 754浮点数的表示范围

IEEE浮点数的精度和范围

一旦浮点数的位数确定后,合理分配阶码和尾数的位数,直接影响浮点数的表示范围和精度。

• 通常对于短实数(总位数为32位),阶码取8位(含阶符1位) ,尾数取24位(含数符1位);
• 对于长实数(总位数为64位),阶码取11位(含阶符1位) ,尾数取53位(含数符1位);
• 对于临时实数(总位数为80位),阶码取15位(含阶符1位) ,尾数取65位(含数符1位)。

阶码全为0/1的情况

• 全0阶码同时全0尾数,表示$\pm 0$,符号取决于数符$S_f$
  • 通常它们等效
• 全1阶码全0尾数,表示$\pm \infty$
  • 引入无穷大是为了使得计算过程中出现异常,依然能够进行下去

阶码不为全0也不为全1的情况

短浮点数

• 1+8+23

  • 最小绝对值

    • $$\begin{gathered} E=1,M=0; \\ 对应的真值min=1.M\times 2^{E-B_1}=1.0\times 2^{1-127}=1.0\times 2^{-126} \end{gathered}$$

  • 最大绝对值:

    • $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}E& =(2^8-1)-1\\ & =1\cdots 11-1\\ & =1\cdots 10=254\\ M& =1-2^{-23}\end{array} \\ 对应的真值为:max=1.M\times 2^{E-B_1}=(2-2^{-23})\times 2^{254-127}=(2-2^{-23})\times 2^{127} \end{gathered}$$

长浮点数

• 1+11+52

  • 最小绝对值

    • $$\begin{gathered} E=1,M=0; \\ 对应的真值min=1.M\times 2^{E-B_2}=1.0\times 2^{1-1023}=1.0\times 2^{-1022} \end{gathered}$$

  • 最大绝对值:

    • $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}E& =(2^{11}-1)-1\\ & =1\cdots 10=2046\\ M& =1-2^{-52}\end{array} \\ 对应的真值为:max=1.M\times 2^{E-B_2}=(2-2^{-52})\times 2^{2046-1023} \\ =(2-2^{-52})\times 2^{1023} \end{gathered}$$

机器零

• 当一个浮点数尾数为0时(不论其阶码为何值)或阶码等于或小于它所能表示的最小数时(不管其尾数为何值)机器都把该浮点数作为零看待,并称之为“机器零”。
• 如果浮点数的阶码用移码表示,尾数用补码表示
  • 则当阶码为它所能表示的最小数$-2^m$(式中 m为阶码的位数,此时该浮点数已经被当作机器零)且尾数为0时,其阶码(移码)全为0,尾数(补码)也全为0,这样的机器零为000…0000

🎈移码Offset binary

• 浮点数的表示中,采用移码的原因

  • 使用补码不容易直接判断数的大小

  • 使用移码可以直接判断出机器数对应的真值之间的大小关系

  • 移码只能够表示整数

• $[x{]}_{移}在数轴上的表示总是⩾0$

• 假设:

  • $真值x的移码的二进制串为O(x)=x_0,x_1\cdots x_n$

    • $$\begin{gathered} O(x)=2^n+x,(x\in [-2^n,2^n-1]) \\ O(x)\in [0,2^{n+1}-1] \\ 以n+1位二进制无符号数表示[0\cdots {00}_2,1\cdots {11}_2] \end{gathered}$$

    • $如果数值位不足n位,则补0对齐$

    • 计算移码的偏置值通常取的就是$2^n$

    • $移码计算公式(移码函数O(x))是一个单调递增函数$

  • 有的地方偏置值取$2^n-1$

移码和真值相互转换以及表示范围

• 从移码计算真值:

  • $x=O^{-1}(O(x))=O(x)-2^n$
    • $x\in [-2^n,2^n-1]$
  • 此时将$O(x)$理解为无符号数
  • $O(x)\in [0,2^{n+1}-1]$

• 🎈相同位数n的情况下,移码可以表示的数(真值)的范围和补码一样

• 

例

• $用函数O(x)表示x的移码$

• $真值x_1=+10100(二进制形式)$

  • $整数位数为n_1=5(没有显式给定机器字长,自行通统计x的二进制形式的位数)$
  • (如果给定了机器字长n,需要视情况将二进制数补齐到n位)

• $O(x_1)=2^n+x=2^5+10100_2=100000+10100_2=1,10100$

  • 此处添加的逗号,将符号位和数值部分分割开来
  • 移码不用来表示小数

• $真值x_2=-10100(二进制形式)$

  • $整数位数为n_2=5$

• $O(x_2)=2^n+x=2^5-10100_2=100000-10100_2=0,0110$

• $真值x=\pm 0(二进制形式)$

  • $整数位数为n$

• $O(\pm 0)=2^n\pm 0=2^n=2^n=1,0\cdots 00$

• $可见,\pm 0$移码的表示形式是相同的,真值0的补码具有唯一性

• 此外,由移码的定义可见，当n = 5时,其最小的真值为$x=-2^5=-100000_{二进制}$，则$[-100000{]}_{移}=2^5+x=100000-100000=0,00000$,即最小真值的移码为全0,这符合人们的习惯。
• 利用移码的这一特点,当浮点数的阶码用移码表示时,就能很方便地判断阶码的大小

C语言和浮点数类型

• C语言中的浮点数类型及类型转换.
• C语言中的float和double类型分别对应于IEEE 754单精度浮点数(32bit)和双精度浮点数(64bit)。
  • long double类型对应于扩展双精度浮点数,但long double的长度和格式随编译器和处理器类型的不同而有所不
    同。
• 在C程序中等式的赋值和判断中会出现强制类型转换
  • 以char> int>long> double和float>double最为常见，
  • 从前到后范围和精度都从小到大，转换过程没有损失。
• 从int转换为float时(通常,它们都是32bit)，虽然不会发生溢出
  • 但int可以保留32位，float保留24位(包括隐藏位)，可能有数据舍入(可能影响精度)
    • 具体是:当int类型的$25\sim 31$bit这些位非0,就无法被无损的转换为浮点数
    • 因此,如果可以用整形表示的数尽量用整形,不经可以保证精度也可以保证运算效率
  • 若从int转换为double则不会出现精度受损
    • 应为double类型的精度达到53位明显大于31位(不计符号位)
      • double的有效位数更多，因此能保留精确值。
    • 因此不能够笼统的认为,整数转为浮点数,精度一定下降(要区分单精度和双精度)
    • 就算是单精度,也要考虑被转换的数的结构!
  • long到double同样可能会损失精度(但是不总是损失,以被转换的数据小数情况共同考虑)
• 从double 转换为float 时，因为float 表示范围更小，因此可能发生溢出。
  • 此外，由于有效位数变少，因此可能被舍入。
• 从float或double转换为int时，因为int没有小数部分
  • 所以数据可能会向0方向被截断(仅保留整数部分)，影响精度。
    • 浮点数x向0方向阶段,就是绝对值被向下取整了
    • $123.45\to 123$
    • $-123.45\to -123$
  • 另外，由于int的表示范围更小，因此可能发生溢出。
    • 31位数值位的上限$2^{31}-1$
    • 单精度的float具有8位阶码(7位数值位,上限为$2^{2^7-1}=2^{127}$
    • 双精度的范围就更大了,达到$2^{1023}$
    • 可见差距十分悬殊