计组_原码一位乘法

文章目录

• 原码一位乘法:
• • 笔算乘法
  • • 例
  • 笔算乘法的改进
  • • • 例
    • 模拟机器计算一位原码乘法
    • • 例
  • 小结

原码一位乘法:

笔算乘法

例

• 乘法A*B转换为关于A的若干次移位和加法(怎么移位的由乘数B的各个位来决定)
• 简单的加法运算(而且每次加法总是有一个操作数取值为A(或者0)(也就是被乘数或者0参与和 此次加法前得到的部分积的加法运算操作))

• 从上面的加法/移位交替计算的过程中可以看到,加法结果每次移位,蓝绿色区域内的数就会增加一位,这些位都将作为最终的的’‘乘法’'结果的低位
  • 他们不受后续高位计算的影响而改变数值(但是仍然参与移位)

• 上述演算中,可以看到,得到最终结果的过程中,低位是最早被确定的

  • 而且不受后续高位结果位的影响

  • 各层部分积的低位随着计算的进行,逐渐被作为总结果的低位而确定下来

    • 总结果的低位部分和早期计算的部分积的低位是一致的

  • 

  • 既然部分积的最低位最早可以确定,那么将这一位保存到合适的位置后(即最终结果的最低位开始)),

    就可以将原先保存乘数的寄存器的低位用于存放别的数据(譬如新的部分积)

笔算乘法的改进

• $$\begin{gathered} \sum _{i=p}^n{x}_i{r}^{-i} \\ =r^{-q}\sum _{i=p}^n{x}_i{r}^{q-i} \\ p=q=1时: \\ \sum _{i=1}^n{x}_i{r}^{-i}=r^{-1}(\sum _{i=1}^n{x}_i{r}^{1-i})=r^{-1}(x_1+\sum _{i=2}^n{x}_i{r}^{1-i}) \\ =r^{-1}(x_1+r^{-1}(x_2+\sum _{i=3}^n{x}_i{r}^{2-i})) \\ =r^{-1}(x_1+r^{-1}(x_2+\cdots r^{-1}(x_{n-1}+\sum _{i=n}^n{x}_i{r}^{(n-1)-i}))) \\ =r^{-1}(x_1+r^{-1}(x_2+\cdots r^{-1}(x_{n-1}+r^{-1}(x_n+0)))) \\ \sum _{i=1}^n{x}_i{r}^{-i}=r^{-1}(x_1+r^{-1}(x_2+\cdots r^{-1}(x_{n-1}+r^{-1}(x_n+0)))) \\ K\sum _{i=1}^n{x}_i{r}^{-i}=K{r}^{-1}(x_1+r^{-1}(x_2+\cdots r^{-1}(x_{n-1}+r^{-1}(x_n+0)))) \\ =r^{-1}(K{x}_1+r^{-1}(K{x}_2+\cdots r^{-1}(K{x}_{n-1}+r^{-1}(K{x}_n+0)))) \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} 特别的,当r=2: \\ \sum _{i=1}^n{x}_i{2}^{-i}=2^{-1}(x_1+2^{-1}(x_2+\cdots 2^{-1}(x_{n-1}+2^{-1}(x_n+0)))) \\ K\sum _{i=1}^n{x}_i{r}^{-i}=2^{-1}(K{x}_1+2^{-1}(K{x}_2+\cdots 2^{-1}(K{x}_{n-1}+2^{-1}(K{x}_n+0)))) \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} 对于p\in [1,n] \\ \sum _{i=p}^n{y}_i{r}^{(p-1)-i}=r^{-1}\sum _{i=p}^n{y}_i{r}^{(p)-i}=r^{-1}(y_p+\sum _{i=p+1}^n{y}_i{r}^{p-i}) \\ 二进制数移位形式的递推: \\ \sum _{i=p}^n{y}_i{2}^{(p-1)-i}=2^{-1}\sum _{i=p}^n{y}_i{2}^{(p)-i}=2^{-1}(y_p+\sum _{i=p+1}^n{y}_i{2}^{p-i}) \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} 以小数为例: \\ 设,有真值x,y作乘数操作数,求它们的原码乘积,即T(x)T(y): \\ T(x)=x_0.x_1{x}_2\cdots x_n \\ T(y)=y_0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ {x}^{\ast }=|x|=0.x_1{x}_2\cdots x_n \\ {y}^{\ast }=|y|=0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ {x}_i,y_i\in \{0,1\} \\ T(x)T(y)=x_0\oplus y_0.(0.x_1{x}_2\cdots x_n)(0.y_1{y}_2\cdots y_n) \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} S=x^{\ast }\cdot y^{\ast }=x^{\ast }\cdot \sum _{i=1}^n{y}_i{2}^{-i} \\ =x^{\ast }(2^{-1}(x^{\ast }{y}_1+2^{-1}(x^{\ast }{y}_2+\cdots 2^{-1}(x^{\ast }{y}_{n-1}+2^{-1}(x^{\ast }{y}_n+0))))) \\ 为了便于描述:记部分积为 \\ \{\begin{array}{l}{s}_i=y_{n-(i-1)}\cdot x^{\ast }+z_{i-1}\\ z_i=2^{-1}{s}_i=2^{-1}(y_{n-(i-1)}\cdot x^{\ast }+z_{i-1});(i\in 0,1,\cdots ,n)\end{array} \\ ♣则:z_i=2^{-1}{s}_i \\ (可见,z_i可以由s_i直接右移1位得到) \\ 对于机器计算s_i时,要先执行乘数的移位(在表格法中, \\ 这个移位操作伴随着z_{i-1}的右移一起右移) \\ 以便得到对应的乘数bit:y_{n-(i-1)};然后在执行加法操作(+z_{i-1}),得到s_i \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& z_0=0\\ & z_1=2^{-1}{s}_1=2^{-1}(x^{\ast }{y}_n+z_0))\\ & z_2=2^{-1}{s}_2=2^{-1}(x^{\ast }{y}_{n-1}+z_1))\\ & ⋮\\ & z_n=2^{-1}{s}_n=2^{-1}(x^{\ast }{y}_1+z_{n-1}))\end{array} \\ 可见S=x^{\ast }\cdot y^{\ast }=z_n; \\ 🎈RHS(等式右边),y的下标和z的下标之和为n \\ ♠再强调一下取值范围的事: \\ ♣x_i,y_i\in \{0,1\} \\ 这意味着,虽然递推式中包含了乘法的形式(x^{\ast }{y}_j,但实际上 \\ 计算机执行的是加x^{\ast }或者加0即可 \\ 用表格模拟上述策略,可以 \\ 列出z_0\sim z_n共n+1行(n是乘数y的位数) \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 上述的z_1,z_2,\cdots ,z_n每一个式子就是一轮操作 \\ (加法操作和移位操作的先后执行) \\ 再比较这些式子,它们在形式(结构上是一样的), \\ 不变的元素是因子2^{-1}(表示向右移位); \\ {x}^{\ast }{y}_j中y_j不像x^{\ast },在不同的z_i式子中可能是不同 \\ 体现在机器做乘法的过程中,就是要连通乘数y^{\ast }也一并做右移位 \\ (使得乘数的末位就是参与分布乘法的bit) \end{gathered}$$

例

模拟机器计算一位原码乘法

例

• $$\begin{array}{rlr}& & 0.1101\\ & \times & 0.1011\end{array}$$

  • 下面的列表计算中,(A=0.1101;B=0.1011)
    • 第1栏为对部分积的操作(包括加法和部分积移位)
      • 假设保存部分积的寄存器为$R_x$
    • 第2栏为乘数,包括对乘数的移位(调整并保持最后位bit的值是恰好可以用来计算$s_i$)
      • 假设保存乘数(以及部分积的低位)的寄存器为$R_y$
      • $B=0.y_1{y}_2{y}_3{y}_4$
      • 那么乘数列第$1,2,3,4$个值的末位分别:$y_4,y_3,y_2,y_1$
        • 它们先后被利用完就因为右移被逐个丢弃,右移空出来的高位使用来接纳部分积中的向右移位而被挤出来的位
        • 当$y_1$也被丢弃,那么乘法操作完成(结束)

• 

• 形成的最终结果分布在两个寄存器内

  • 结果的高位部分放在$R_1$中
  • 结果的低位部分则位于$R_2$中

小结

• 从递推公式中可以看出,被乘数$x^{\ast }$视为一个整体
  • 乘数$y^{\ast }$被分解为2的幂的和的形式下一个部分积(当前计算的部分积$z_i$用到上一个算好的部分积$z_{i-1}$)
  • 递推公式告诉我们,计算机内部使用
    • 加法联合移位两种计算机擅长的操作来实现乘法运算(间接)
    • 由$y_i\in \{0,1\}$容易知道,$x^{\ast }\cdot y_i\in \{x^{\ast },0\}$
    • 如果乘数$y^{\ast }$有n位,那么该策略共需要进行n次加法操作和n次移位操作
    • 由乘数的末位值(末位bit)t确定被乘数是否与原部分积(上一次计算得到的部分积)相加
      • t=1,则加上被乘数
      • t=0,不加被乘数(加0代替之)
      • 然后右移一位(即乘以$2^{-1}$),形成新的部分积;
        • 同时,乘数也右移一位,使得次低位作新的末位,空出最高位放部分积的最低位
    • 每一轮计算(加操作/移位操作)中,加法计算在前,移位计算在后
      • 每次做加法时,被乘数仅仅与原部分积的高位相加
      • 其低位,被移出到乘数所空出的高位位置(寄存器)

• 用一个寄存器存放 被乘数,一个寄存器存放 乘积 另一个寄存器 存放 乘数(已经用过的低位乘数不再保留)及乘积的低位(就是A*B的总结果的低位)(共用一个寄存器,最终,乘数的各个位都被丢弃,而仅有乘积的较低位部分);
• 再配上加法器及其他相应电路,就可组成乘法器。
  • 又因加法只在部分积的高位进行,故不但节省了器材,而且还缩短了运算时间。