多项式定理@多项式幂展开
多项式幂的系数
- 例:
(
x
−
2
y
+
z
)
5
(x-2y+z)^5
(x−2y+z)5展开式中的
x
2
y
2
z
x^2y^2z
x2y2z的系数?
- 将其映射为 ( x 1 + x 2 + x 3 ) n (x_1+x_2+x_3)^n (x1+x2+x3)n模型,其中 x 1 = x x_1=x x1=x, x 2 = − 2 y x_2=-2y x2=−2y, x 3 = z x_3=z x3=z
- ( C 5 2 ( 1 x ) 2 ) ( C 3 2 ( − 2 y ) 2 ) ( C 1 1 ( 1 z ) 1 ) (C_5^2(1x)^2)(C_3^2(-2y)^2)(C_1^1(1z)^1) (C52(1x)2)(C32(−2y)2)(C11(1z)1)= ( 10 x 2 ) ( 3 × 4 y 2 ) ( z ) (10x^2)(3\times4y^2)(z) (10x2)(3×4y2)(z)= 120 x 2 y 2 z 120x^2y^2z 120x2y2z
- 或者这样写 C 5 2 C 3 2 C 1 1 ( x 2 ( − 2 y ) 2 z 1 ) C_5^2C_3^2C_1^1(x^2(-2y)^2z^1) C52C32C11(x2(−2y)2z1)= 120 x 2 y 2 z 120x^2y^2z 120x2y2z,其中 C 5 2 C 3 2 C 1 1 C_5^2C_3^2C_1^1 C52C32C11表示从5个 ( x − 2 y + z ) (x-2y+z) (x−2y+z)因式中取出2个含 x x x的项,2个 y y y的项,1个含z的项的组合数其中 C 5 2 C 3 2 C 1 1 C_5^2C_3^2C_1^1 C52C32C11上标之和为n=5,前一个下标前去下一个上标得到下一个下标(乘法原理)
多项式定理
-
多项式定理为二项式定理的推广。
- t t t项式的n次幂展开定理
- t = 2 t=2 t=2 时为二项式定理。
-
( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) n = ∑ n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n t ! x 1 n 1 x 2 n 2 ⋯ x t n t {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t})^{n}=\sum {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{t}!}}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{t}^{n_{t}}} (x1+x2+⋯+xt)n=∑n1!n2!⋯nt!n!x1n1x2n2⋯xtnt
- 其中, n 1 , n 2 , n 3 ⋯ n t {n_{1},n_{2},n_{3}\cdots n_{t}} n1,n2,n3⋯nt,是指一切满足条件: ∑ i = 1 t n i = n {\sum_{i=1}^{t}n_i=n} ∑i=1tni=n, ( 0 ≤ n i ≤ n ) (0\leq n_{i}\leq n) (0≤ni≤n)的非负数组合
- 由隔板法可知该多项式展开共有 ( n + t − 1 ) ! n ! ( t − 1 ) ! {\displaystyle {\frac {(n+t-1)!}{n!(t-1)!}}} n!(t−1)!(n+t−1)! 项
-
用 ∑ , ∏ \sum,\prod ∑,∏描述:
- ( ∑ i = 1 t x i ) n = ∑ ( n ! ∏ i = 1 t n i ! ∏ i = 1 t x i n i ) (\sum_{i=1}^{t}x_i)^n=\sum \left( \frac{n!}{\prod_{i=1}^{t}{n_i!}}\prod_{i=1}^{t}x_i^{n_i} \right) (i=1∑txi)n=∑(∏i=1tni!n!i=1∏txini)
证明🎈
数学归纳法🎈
-
对元数t做归纳：
-
当 t = 2 t=2 t=2时，原式为二项式定理，成立。
- ( x 1 + x 2 ) n = ∑ i = 0 n ( n i ) x 1 n − i x 2 i = ∑ i = 0 n n ! i ! ( n − i ) ! x 1 n − i x 2 i (x_1+x_2)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x_1^{n-i}x_2^{i} =\sum_{i=0}^{n}\frac{n!}{i!(n-i)!}x_1^{n-i}x_2^{i} (x1+x2)n=i=0∑n(in)x1n−ix2i=i=0∑ni!(n−i)!n!x1n−ix2i
-
假设对 t − 1 t-1 t−1元成立，则：
-
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
t
)
n
{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t}\right)^{n}}
(x1+x2+⋯+xt)n
- = = = ( ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t − 1 ) + x t ) n {\displaystyle ((x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t-1})+x_{t})^{n}} ((x1+x2+⋯+xt−1)+xt)n
- = = = ∑ n t = 0 n n ! n t ! ( n − n t ) ! ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t − 1 ) n − n t x t n t {\displaystyle \sum _{n_{t}=0}^{n}{\frac {n!}{n_{t}!\left(n-n_{t}\right)!}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t-1}\right)^{n-n_{t}}x_{t}^{n_{t}}} nt=0∑nnt!(n−nt)!n!(x1+x2+⋯+xt−1)n−ntxtnt
- = = = ∑ n t = 0 n n ! n t ! ( n − n t ) ! ∑ n 1 + n 2 + ⋯ + n t − 1 = n − n t ( n − n t ) ! n 1 ! ⋯ n t − 1 ! x 1 n 1 ⋯ x t − 1 n t − 1 x t n t {\displaystyle \sum _{n_{t}=0}^{n}{\frac {n!}{n_{t}!\left(n-n_{t}\right)!}}\sum _{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t-1}=n-n_{t}}{\frac {\left(n-n_{t}\right)!}{n_{1}!\cdots n_{t-1}!}}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{t-1}^{n_{t-1}}x_{t}^{n_{t}}} nt=0∑nnt!(n−nt)!n!n1+n2+⋯+nt−1=n−nt∑n1!⋯nt−1!(n−nt)!x1n1⋯xt−1nt−1xtnt
- = = = ∑ n 1 + n 2 + ⋯ + n t = n n ! n 1 ! ⋯ n t ! x 1 n 1 ⋯ x t n t {\displaystyle \sum _{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n}{\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{t}!}}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{t}^{n_{t}}} n1+n2+⋯+nt=n∑n1!⋯nt!n!x1n1⋯xtnt
-
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
t
)
n
{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t}\right)^{n}}
(x1+x2+⋯+xt)n
-
证毕.
组合法🎈
-
本法是利用基于乘法原理的组合数来计算n次多项式展开的各项的系数来推导多项式定理的
-
设讨论的 t t t项式 n n n次幂为 f = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) n f=(x_1+x_2+\cdots+x_t)^n f=(x1+x2+⋯+xt)n
- 下面讨论的内容式关于多项式的内容,可能涉及到高等代数中的多项式有关章节的知识,不过不难理解
- 根据多项式的知识, f f f是一个n次齐次多项式,且展开式中每一项都是 n n n次单项式,可以抽象为形式 a x 1 n 1 x 2 n 2 ⋯ x t n t ax_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots{x_t^{n_t}} ax1n1x2n2⋯xtnt,且 ∑ i = 1 t n i = n \sum_{i=1}^{t}n_i=n ∑i=1tni=n;即, n 1 + n 2 + ⋯ + n t = n {n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n} n1+n2+⋯+nt=n, n i ∈ [ 0 , n ] , n i ∈ N n_i\in[0,n],n_i\in\mathbb{N} ni∈[0,n],ni∈N
- 想要确定包含项 a x 1 n 1 x 2 n 2 ⋯ x t n t ax_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots{x_t^{n_t}} ax1n1x2n2⋯xtnt的系数 a a a,可以根据乘法对加法的分配律以及组合数确定系数,即从 n n n个来连续相乘的 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) (x_1+x_2+\cdots+x_t) (x1+x2+⋯+xt)中分别选出 n i n_i ni个 x i x_{i} xi,( i = 1 , 2 , ⋯ , t i=1,2,\cdots,t i=1,2,⋯,t)
- 将系数 a a a用组合数表示为 a a a= C n n 1 C n − n 1 n 2 ⋯ C n − n 1 − n 2 − ⋯ − n t − 1 n t C_n^{n_1}C_{n-n_1}^{n_2}\cdots{C^{n_t}_{n-n_1-n_2-\cdots-n_{t-1}}} Cnn1Cn−n1n2⋯Cn−n1−n2−⋯−nt−1nt
- 满足上式的 n 1 , n 2 , ⋯ , n t n_1,n_2,\cdots,n_t n1,n2,⋯,nt的数组是有限的,设这个数量为 S S S,则 S S S数量恰好是多项式的展开式的项数
- 系数 a a a还可以用二项式系数的形式表示: ( n m ) = C n m \binom{n}{m}=C_{n}^{m} (mn)=Cnm
-
a = ( n n 1 ) ( n − n 1 n 2 ) ( n − n 1 − n 2 n 3 ) ⋯ ( n − n 1 − n 2 − ⋯ − n t − 1 n t ) = n ! ( n − n 1 ) ! ( n − n 1 − n 2 ) ! ⋯ ( n − n 1 − n 2 − ⋯ − n t − 1 ) ! n 1 ! ( n − n 1 ) ! n 2 ! ( n − n 1 − n 2 ) ! n 3 ! ( n − n 1 − n 2 − n 3 ) ! ⋯ n t ! ( n − n 1 − n 2 − ⋯ − n t ) ! = n ! n 1 ! n 2 ! n 3 ! ⋯ n t ! \begin{aligned} a=&{\binom {n}{n_{1}}}{\binom {n-n_{1}}{n_{2}}}{\binom {n-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}\cdots {\binom {n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t-1}}{n_{t}}} \\ =&{\frac {n!(n-n_{1})!(n-n_{1}-n_{2})!\cdots (n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t-1})!}{n_{1}!(n-n_{1})!n_{2}!(n-n_{1}-n_{2})!n_{3}!(n-n_{1}-n_{2}-n_{3})!\cdots n_{t}!(n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t})!}} \\ =&{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!\cdots n_{t}!}} \end{aligned} a===(n1n)(n2n−n1)(n3n−n1−n2)⋯(ntn−n1−n2−⋯−nt−1)n1!(n−n1)!n2!(n−n1−n2)!n3!(n−n1−n2−n3)!⋯nt!(n−n1−n2−⋯−nt)!n!(n−n1)!(n−n1−n2)!⋯(n−n1−n2−⋯−nt−1)!n1!n2!n3!⋯nt!n!
-
可见,系数 a a a的形式相当于不尽相异物排列问题的计算公式
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