EM@数列@等差数列

文章目录

• • abstract
  • 数列
  • • 数列分类
    • 项和通项
    • 通项公式
    • 递推公式
    • 第$i$项与前$n$项和的关系
  • 等差数列🎈
  • • 递推公式
    • 通项公式
    • 等差数列通项公式和一次式
    • 相邻项的性质
    • 等差中项
    • 下标和相等的两组子数列
    • 等差数列和
    • • 形式1
      • 形式2
      • • 推导1
        • 推导2

abstract

• 一般数列的概念和性质

• 等差数理的基本公式

  • 递推公式
  • 通项公式
  • 前$n$项和公式

• 等差数列相关概念和性质

数列

• 按照一定次序排列起来的一列数$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$称为数列,记为$\{a_n\}$

数列分类

• 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列
• 各项都相等的数列称为常数列
• 从第2项起,每一项大于它的前一项的数列称为递增数列
• 从第2项起,每一项小于它的前一项的数列称为递减数列

这两类数列统称为(广义)单调数列,它们的符号化描述如下:

• 若$\{x_n\}$满足$x_1⩽x_2⩽\cdots ⩽x_n⩽\cdots$,(即$x_i⩽x_{i+1},i=1,2,\cdots$),则$\{x_n\}$为单调增加的
• 若$\{x_n\}$满足$x_1⩾x_2⩾\cdots ⩾x_n⩾\cdots$,(即$x_i⩾x_{i+1},i=1,2,\cdots$),则$\{x_n\}$为单调减少的

项和通项

• 数列中的每一个数称为数列的一个项
• 数列中的第$n$项记为$a_n$,称为数列的通项,因此一般形式的数列记为$\{a_n\}$

通项公式

• 若数列的第$n$项$a_n$与$n$之间的关系可以用一个函数式$a_n=f(n)$表示,则该函数式(公式)称为数列的通项公式

递推公式

• 如果已知数列的前$m(m\in {\mathbb{N}}_{+})$项,且从某一项开始的任意一项$a_n$与它的前$m$项间的关系可以用一个公式表示,则这个公式称为这个数列的递推公式
• 递推公式给出数列的一种方法
• 例:$a_{n+1}=\frac{1}{2^{a_n}}$就是一个递推公式,从第2项开始,能够从前一项推出后一项;
  • $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$也是一个递推公式,从第3项开始,能够从前2项推出后一项

第$i$项与前$n$项和的关系

• 若$s_n$表示前$n$项和$s_n={\sum }_{i=1}^n{a}_i$,则对于任何数列$\{a_n\}$,总是有$a_n=s_n-s_{n-1}$;$(n=2,3,...)$;
  • 例如$a_1=s_2-s_1$
• 这个式子很有用,比如
  • 从递推公式推导出通项公式
  • 前$n$项和
  • 用在推导排序不等式

等差数列🎈

• 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(公差),那么则个数列就叫做等差数列
• 符号描述:
  • 对于数列中的任意相邻3项$a_{n-1},a_n,a_{n+1}$有$a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$,$n=2,3,\cdots$
  • 或者用递推公式描述

递推公式

• $a_n=a_{n-1}+d;(n=2,3,...)$

通项公式

• $a_n=a_1+(n-1)d$

• 可以用叠加法由递推公式求通项公式:

  • $a_2-a_1=d$

  • $a_3-a_2=d$

  • $⋮$

  • $a_n-a_{n-1}=d$

  • 将上述$n-1$个等式相加,得$(s_n-a_1)-(s_{n-1})$=$d(n-1)$

  • 从而$a_n-a_1=(n-1)d$,即$a_n=a_1+(n-1)d$

等差数列通项公式和一次式

• 若数列$\{a_n\}$是等差数列的充要条件是$a_n=an+b$,($a,b$是常数)

• 证明:

  • 必要性显然,$a_n=a_1+d(n-1)$=$dn+(a_1-d)$,其中$a=d$,$b=a_1-d$

  • 充分性:若$a_n=an+b$,则$a_n-a_{n-1}=an+b-(a(n-1)+b)$=$an+b-an+a-b$=$a$,$(n⩾2)$;所以$\{a_n\}$是一个公差为$a$的等差数列

相邻项的性质

• $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2};n=2,3,...$
• $a_n+a_m=a_q+a_p;(m+n=p+q=t常数)$

等差中项

• 若$x,A,y$构成等差数列,则$A=\frac{x+y}{2}$,称A为$x,y$得等差中项
  • 若$x=a_1+(n-1)d$,则$A=a_1+nd$,$y=a_1+(n+1)d$
  • 从而$\frac{x+y}{2}$=$a_1+nd$=$A$
• 由等差中项判定一个数列是否式等差数列:若一个数列从第2项起,每一项都是它的前一项和后一项(如果有的话)的等差中项,则这个数列是等差数列
  • 若$A$是$x,y$的等差中项,则$A=\frac{x+y}{2}$,即$2A=x+y$,从而$A-x=y-A$,由此可见$x,A,y$构成等差数列

下标和相等的两组子数列

• 如果$n_1+n_2=t$😭$t$为常数),那么根据通向公式有$a_{n_1}+a_{n_2}$=$a_1+(n_1-1)d+a_1+(n_2-1)d$=$2a_1+(n_1+n_2-2)d$=$2a_1+(t-2)d$(是一个与$t$相关但是与$n_1,n_2$不直接相关的常数)
• 即,序号和相等的两组项各自的组内项之和相等,表示为$a_{n_1}+a_{n_2}$=$a_{m_1}+a_{m_2}$,$n_1+n_2=m_1+m_2$
• 更一般地,若${\sum }_{i=1}^N{n}_i$=${\sum }_{i=1}^N{m}_i$=$t$,则${\sum }_{i=1}^N{a}_{n_i}$=${\sum }_{i=1}^N{a}_{m_i}$=$N{a}_1+(t-N)d$

等差数列和

形式1

• $s=n\frac{(a_1+a_n)}{2}$,则个形式形如体型的面积公式
• 利用倒序相加求$2s_n$,可得$2s_n=n(a_1+a_n)$即:$s_n=n\frac{(a_1+a_n)}{2}$=$n\frac{(a_x+a_{n+1-x})}{2}$

形式2

• $s=n{a}_1+d\frac{n(n-1)}{2}$

推导1

• 将通项公式代入$s=\frac{a_1+a_n}{2}n$,得$s=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n$=$(a_1+\frac{n-1}{2}d)n$=$n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

推导2

• 由通向公式$a_i=a_1+(i-1)d$

  • $a_1=a_1+0d$

  • $a_2=a_1+d$

  • $a_3=a_1+2d$

  • $\cdots$

  • $a_n=a_1+(n-1)d$

• $s=\sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _{i=1}^n(a_1+(i-1)d)$

  • = $a_1\sum _{i=1}^{n}1$+$d\sum _{i=1}^n(i-1)$
  • $=n{a}_1+d(({\sum }_{i=1}^{n}i)-n)$
  • $=n{a}_1+d(\frac{1}{2}n(n+1)-n)$
  • $=n{a}_1+d\frac{n(n-1)}{2}$

• Note:计算$\sum _{i=1}^n(i-1)$时也可以直接等于$\sum _{i=1}^{n-1}i$=$\frac{1}{2}n(n-1)$