EM@数列@等差数列
文章目录
abstract
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一般数列的概念和性质
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等差数理的基本公式
- 递推公式
- 通项公式
- 前 n n n项和公式
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等差数列相关概念和性质
数列
- 按照一定次序排列起来的一列数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n , ⋯ a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots a1,a2,⋯,an,⋯称为数列,记为 { a n } \set{a_n} {an}
数列分类
- 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列
- 各项都相等的数列称为常数列
- 从第2项起,每一项大于它的前一项的数列称为递增数列
- 从第2项起,每一项小于它的前一项的数列称为递减数列
这两类数列统称为(广义)单调数列,它们的符号化描述如下:
- 若 { x n } \set{x_n} {xn}满足 x 1 ⩽ x 2 ⩽ ⋯ ⩽ x n ⩽ ⋯ x_1\leqslant{x_2}\leqslant{\cdots}\leqslant{x_n}\leqslant{\cdots} x1⩽x2⩽⋯⩽xn⩽⋯,(即 x i ⩽ x i + 1 , i = 1 , 2 , ⋯ x_i\leqslant{x_{i+1}},i=1,2,\cdots xi⩽xi+1,i=1,2,⋯),则 { x n } \set{x_n} {xn}为单调增加的
- 若 { x n } \set{x_n} {xn}满足 x 1 ⩾ x 2 ⩾ ⋯ ⩾ x n ⩾ ⋯ x_1\geqslant{x_2}\geqslant{\cdots}\geqslant{x_n}\geqslant{\cdots} x1⩾x2⩾⋯⩾xn⩾⋯,(即 x i ⩾ x i + 1 , i = 1 , 2 , ⋯ x_i\geqslant{x_{i+1}},i=1,2,\cdots xi⩾xi+1,i=1,2,⋯),则 { x n } \set{x_n} {xn}为单调减少的
项和通项
- 数列中的每一个数称为数列的一个项
- 数列中的第 n n n项记为 a n a_n an,称为数列的通项,因此一般形式的数列记为 { a n } \set{a_n} {an}
通项公式
- 若数列的第 n n n项 a n a_n an与 n n n之间的关系可以用一个函数式 a n = f ( n ) a_n=f(n) an=f(n)表示,则该函数式(公式)称为数列的通项公式
递推公式
- 如果已知数列的前 m ( m ∈ N + ) m(m\in\mathbb{N_{+}}) m(m∈N+)项,且从某一项开始的任意一项 a n a_n an与它的前 m m m项间的关系可以用一个公式表示,则这个公式称为这个数列的递推公式
- 递推公式给出数列的一种方法
- 例:
a
n
+
1
=
1
2
a
n
a_{n+1}=\frac{1}{2^{a_{n}}}
an+1=2an1就是一个递推公式,从第2项开始,能够从前一项推出后一项;
- a n + 2 = a n + a n + 1 a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1} an+2=an+an+1也是一个递推公式,从第3项开始,能够从前2项推出后一项
第 i i i项与前 n n n项和的关系
- 若
s
n
s_n
sn表示前
n
n
n项和
s
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
s_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}
sn=∑i=1nai,则对于任何数列
{
a
n
}
\set{a_n}
{an},总是有
a
n
=
s
n
−
s
n
−
1
a_n=s_n-s_{n-1}
an=sn−sn−1;
(
n
=
2
,
3
,
.
.
.
)
(n=2,3,...)
(n=2,3,...);
- 例如 a 1 = s 2 − s 1 a_1=s_2-s_1 a1=s2−s1
- 这个式子很有用,比如
- 从递推公式推导出通项公式
- 前 n n n项和
- 用在推导排序不等式
等差数列🎈
- 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(公差),那么则个数列就叫做等差数列
- 符号描述:
- 对于数列中的任意相邻3项 a n − 1 , a n , a n + 1 a_{n-1},a_{n},a_{n+1} an−1,an,an+1有 a n − a n − 1 = a n + 1 − a n a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n} an−an−1=an+1−an, n = 2 , 3 , ⋯ n=2,3,\cdots n=2,3,⋯
- 或者用递推公式描述
递推公式
- a n = a n − 1 + d ; ( n = 2 , 3 , . . . ) a_n=a_{n-1}+d;(n=2,3,...) an=an−1+d;(n=2,3,...)
通项公式
-
a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n=a_1+(n-1)d an=a1+(n−1)d
-
可以用叠加法由递推公式求通项公式:
-
a 2 − a 1 = d a_2-a_1=d a2−a1=d
-
a 3 − a 2 = d a_3-a_2=d a3−a2=d
-
⋮ \vdots ⋮
-
a n − a n − 1 = d a_n-a_{n-1}=d an−an−1=d
-
将上述 n − 1 n-1 n−1个等式相加,得 ( s n − a 1 ) − ( s n − 1 ) (s_{n}-a_1)-(s_{n-1}) (sn−a1)−(sn−1)= d ( n − 1 ) d(n-1) d(n−1)
-
从而 a n − a 1 = ( n − 1 ) d a_n-a_1=(n-1)d an−a1=(n−1)d,即 a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n=a_1+(n-1)d an=a1+(n−1)d
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等差数列通项公式和一次式
-
若数列 { a n } \set{a_n} {an}是等差数列的充要条件是 a n = a n + b a_n=an+b an=an+b,( a , b a,b a,b是常数)
-
证明:
-
必要性显然, a n = a 1 + d ( n − 1 ) a_n=a_1+d(n-1) an=a1+d(n−1)= d n + ( a 1 − d ) dn+(a_1-d) dn+(a1−d),其中 a = d a=d a=d, b = a 1 − d b=a_1-d b=a1−d
-
充分性:若 a n = a n + b a_n=an+b an=an+b,则 a n − a n − 1 = a n + b − ( a ( n − 1 ) + b ) a_{n}-a_{n-1}=an+b-(a(n-1)+b) an−an−1=an+b−(a(n−1)+b)= a n + b − a n + a − b an+b-an+a-b an+b−an+a−b= a a a, ( n ⩾ 2 ) (n\geqslant{2}) (n⩾2);所以 { a n } \set{a_n} {an}是一个公差为 a a a的等差数列
-
相邻项的性质
- a n = a n − 1 + a n + 1 2 ; n = 2 , 3 , . . . a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2};n=2,3,... an=2an−1+an+1;n=2,3,...
- a n + a m = a q + a p ; ( m + n = p + q = t 常数 ) a_n+a_m=a_q+a_p;(m+n=p+q=t常数) an+am=aq+ap;(m+n=p+q=t常数)
等差中项
- 若
x
,
A
,
y
x,A,y
x,A,y构成等差数列,则
A
=
x
+
y
2
A=\frac{x+y}{2}
A=2x+y,称A为
x
,
y
x,y
x,y得等差中项
- 若 x = a 1 + ( n − 1 ) d x=a_1+(n-1)d x=a1+(n−1)d,则 A = a 1 + n d A=a_1+nd A=a1+nd, y = a 1 + ( n + 1 ) d y=a_1+(n+1)d y=a1+(n+1)d
- 从而 x + y 2 \frac{x+y}{2} 2x+y= a 1 + n d a_1+nd a1+nd= A A A
- 由等差中项判定一个数列是否式等差数列:若一个数列从第2项起,每一项都是它的前一项和后一项(如果有的话)的等差中项,则这个数列是等差数列
- 若 A A A是 x , y x,y x,y的等差中项,则 A = x + y 2 A=\frac{x+y}{2} A=2x+y,即 2 A = x + y 2A=x+y 2A=x+y,从而 A − x = y − A A-x=y-A A−x=y−A,由此可见 x , A , y x,A,y x,A,y构成等差数列
下标和相等的两组子数列
- 如果 n 1 + n 2 = t n_1+n_2=t n1+n2=t😭 t t t为常数),那么根据通向公式有 a n 1 + a n 2 a_{n_1}+a_{n_2} an1+an2= a 1 + ( n 1 − 1 ) d + a 1 + ( n 2 − 1 ) d a_1+(n_1-1)d+a_1+(n_2-1)d a1+(n1−1)d+a1+(n2−1)d= 2 a 1 + ( n 1 + n 2 − 2 ) d 2a_1+(n_1+n_2-2)d 2a1+(n1+n2−2)d= 2 a 1 + ( t − 2 ) d 2a_1+(t-2)d 2a1+(t−2)d(是一个与 t t t相关但是与 n 1 , n 2 n_1,n_2 n1,n2不直接相关的常数)
- 即,序号和相等的两组项各自的组内项之和相等,表示为 a n 1 + a n 2 a_{n_1}+a_{n_2} an1+an2= a m 1 + a m 2 a_{m_1}+a_{m_2} am1+am2, n 1 + n 2 = m 1 + m 2 n_1+n_2=m_1+m_2 n1+n2=m1+m2
- 更一般地,若 ∑ i = 1 N n i \sum_{i=1}^{N}n_i ∑i=1Nni= ∑ i = 1 N m i \sum_{i=1}^{N}m_i ∑i=1Nmi= t t t,则 ∑ i = 1 N a n i \sum_{i=1}^{N}a_{n_{i}} ∑i=1Nani= ∑ i = 1 N a m i \sum_{i=1}^{N}a_{m_i} ∑i=1Nami= N a 1 + ( t − N ) d Na_1+(t-N)d Na1+(t−N)d
等差数列和
形式1
- s = n ( a 1 + a n ) 2 s=n\frac{(a_1+a_n)}{2} s=n2(a1+an),则个形式形如体型的面积公式
- 利用倒序相加求 2 s n 2s_n 2sn,可得 2 s n = n ( a 1 + a n ) 2s_n=n(a_1+a_n) 2sn=n(a1+an)即: s n = n ( a 1 + a n ) 2 s_n=n\frac{(a_1+a_n)}{2} sn=n2(a1+an)= n ( a x + a n + 1 − x ) 2 n\frac{(a_x+a_{n+1-x})}{2} n2(ax+an+1−x)
形式2
- s = n a 1 + d n ( n − 1 ) 2 s=na_1+d\frac{n(n-1)}{2} s=na1+d2n(n−1)
推导1
- 将通项公式代入 s = a 1 + a n 2 n s=\frac{a_1+a_n}{2}n s=2a1+ann,得 s = 2 a 1 + ( n − 1 ) d 2 n s=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n s=22a1+(n−1)dn= ( a 1 + n − 1 2 d ) n ({a_1+\frac{n-1}{2}d}){n} (a1+2n−1d)n= n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d na_1+\frac{n(n-1)}{2}d na1+2n(n−1)d
推导2
-
由通向公式 a i = a 1 + ( i − 1 ) d a_i=a_1+(i-1)d ai=a1+(i−1)d
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a 1 = a 1 + 0 d a_1=a_1+0d a1=a1+0d
-
a 2 = a 1 + d a_2=a_1+d a2=a1+d
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a 3 = a 1 + 2 d a_3=a_1+2d a3=a1+2d
-
⋯ \cdots ⋯
-
a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n=a_1+(n-1)d an=a1+(n−1)d
-
-
s = ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 n ( a 1 + ( i − 1 ) d ) s=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_1+(i-1)d) s=i=1∑nai=i=1∑n(a1+(i−1)d)
- = a 1 ∑ i = 1 n 1 a_1\sum\limits_{i=1}^{n}1 a1i=1∑n1+ d ∑ i = 1 n ( i − 1 ) d\sum\limits_{i=1}^{n}(i-1) di=1∑n(i−1)
- = n a 1 + d ( ( ∑ i = 1 n i ) − n ) =na_1+d((\sum_{i=1}^{n}i)-n) =na1+d((∑i=1ni)−n)
- = n a 1 + d ( 1 2 n ( n + 1 ) − n ) =na_1+d(\frac{1}{2}n(n+1)-n) =na1+d(21n(n+1)−n)
- = n a 1 + d n ( n − 1 ) 2 =na_1+d\frac{n(n-1)}{2} =na1+d2n(n−1)
-
Note:计算 ∑ i = 1 n ( i − 1 ) \sum\limits_{i=1}^{n}(i-1) i=1∑n(i−1)时也可以直接等于 ∑ i = 1 n − 1 i \sum\limits_{i=1}^{n-1}i i=1∑n−1i= 1 2 n ( n − 1 ) \frac{1}{2}n(n-1) 21n(n−1)
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