EM@三角恒等变换@积化和差@和差化积
abstract
- 三角函数和差化积,积化和差公式的简单推导
refs
铺垫:和角公式
- cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y \cos(x+y)=\cos x\cos y -\sin x\sin y cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny= A − B A-B A−B
- cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y cos(x−y)=cosxcosy+sinxsiny= A + B A+B A+B
- sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny= C + D C+D C+D
- sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y sin(x−y)=sinxcosy−cosxsiny= C − D C-D C−D
积化和差
- cos x cos y \cos {x} \cos {y} cosxcosy= cos ( x − y ) + cos ( x + y ) 2 {\cos({x} -{y} )+\cos({x} +{y} ) \over 2} 2cos(x−y)+cos(x+y)
- $\sin {x} \sin {y} = = ={\cos({x} -{y} )-\cos({x} +{y} ) \over 2}$
- $\sin {x} \cos {y} = = ={\sin({x} +{y} )+\sin({x} -{y} ) \over 2}$
- $ \cos {x} \sin {y} = = ={\sin({x} +{y} )-\sin({x} -{y} ) \over 2}$
- $\tan {x} \tan {y} = = =\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\frac{\sin{y}}{\cos{y}} = = ={\frac {\cos({x} -{y} )-\cos({x} +{y} )}{\cos({x} -{y} )+\cos({x} +{y} )}}$
推导
- A = ( 1 ) + ( 2 ) 2 A=\frac{(1)+(2)}{2} A=2(1)+(2)
- B = ( 2 ) − ( 1 ) 2 B=\frac{(2)-(1)}{2} B=2(2)−(1)
- C = ( 3 ) + ( 4 ) 2 C=\frac{(3)+(4)}{2} C=2(3)+(4)
- D = ( 3 ) − ( 4 ) 2 D=\frac{(3)-(4)}{2} D=2(3)−(4)
和差化积
-
这里讨论的是同名三角函数的和差化积公式(同名)
-
sin x ± sin y = 2 sin ( x ± y 2 ) cos ( x ∓ y 2 ) \sin {x} \pm \sin {y} =2\sin \left({\frac {{x} \pm {y} }{2}}\right)\cos \left({\frac {{x} \mp {y} }{2}}\right) sinx±siny=2sin(2x±y)cos(2x∓y)
-
cos x + cos y = 2 cos ( x + y 2 ) cos ( x − y 2 ) \cos {x} +\cos {y} =2\cos \left({\frac {{x} +{y} }{2}}\right)\cos \left({\frac {{x} -{y} }{2}}\right) cosx+cosy=2cos(2x+y)cos(2x−y)
-
cos x − cos y = 2 sin ( x + y 2 ) sin ( x − y 2 ) { \cos {x} -\cos {y} =2\sin \left({\frac {{x} +{y} }{2}}\right)\sin \left({\frac {{x} -{y} }{2}}\right)} cosx−cosy=2sin(2x+y)sin(2x−y)
-
tan x ± tan y = sin ( x ± y ) cos x cos y { \tan {x} \pm \tan {y} ={\frac {\sin({x} \pm {y} )}{\cos {x} \cos {y} }}} tanx±tany=cosxcosysin(x±y)
换元推导
- 以积化和差公式为基础变形,并使用代换:即
-
x
+
y
=
p
x+y=p
x+y=p
(1) -
x
−
y
=
q
x-y=q
x−y=q
(2) - 两式相加:
2
x
=
p
+
q
2x=p+q
2x=p+q;即
x
=
p
+
q
2
x=\frac{p+q}{2}
x=2p+q
(3) - 两式相减
2
y
=
p
−
q
2y=p-q
2y=p−q;即
y
=
p
−
q
2
y=\frac{p-q}{2}
y=2p−q
(4)
-
x
+
y
=
p
x+y=p
x+y=p
- 将和差化积公式组变形,得过渡公式组
- cos ( x − y ) + cos ( x + y ) {\cos({x} -{y} )+\cos({x} +{y} ) } cos(x−y)+cos(x+y)= 2 cos x cos y 2\cos {x} \cos {y} 2cosxcosy
- cos ( x − y ) − cos ( x + y ) {\cos({x} -{y} )-\cos({x} +{y} ) } cos(x−y)−cos(x+y)=$2\sin {x} \sin {y} $
- sin ( x + y ) + sin ( x − y ) {\sin({x} +{y} )+\sin({x} -{y} )} sin(x+y)+sin(x−y)=$2\sin {x} \cos {y} $
- sin ( x + y ) − sin ( x − y ) {\sin({x} +{y} )-\sin({x} -{y} ) } sin(x+y)−sin(x−y)=$2\cos {x} \sin {y} $
- 这组公式形式上已经很接近和差化积的形式了,我们还需要将
x
,
y
,
x
−
y
,
x
+
y
x,y,x-y,x+y
x,y,x−y,x+y表示
p
,
q
p,q
p,q的表达式,即分别代入
(1),(2),(3),(4)即得和差化积公式- cos q + cos p = 2 cos p + q 2 cos p − q 2 \cos{q}+\cos{p}=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2} cosq+cosp=2cos2p+qcos2p−q
- cos q − cos p = 2 sin p + q 2 sin p − q 2 \cos{q}-\cos{p}=2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2} cosq−cosp=2sin2p+qsin2p−q
- sin p + sin q = 2 sin p + q 2 cos p − q 2 \sin{p}+\sin{q}=2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2} sinp+sinq=2sin2p+qcos2p−q
- sin p − sin q = 2 cos p + q 2 sin p − q 2 \sin{p}-\sin{q}=2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2} sinp−sinq=2cos2p+qsin2p−q
向量运算推导
-
这里用向量几何的方式推导和差化积公式
-
以直角坐标系 x O y xOy xOy的原点为圆心作单位圆,并任意取圆上两点作向量 O P → \overrightarrow{OP} OP= ( cos α , sin α ) (\cos\alpha,\sin\alpha) (cosα,sinα), O Q → \overrightarrow{OQ} OQ= ( cos β , sin β ) (\cos\beta,\sin\beta) (cosβ,sinβ)
- 取弧 A B ⌢ \overset{\huge\frown}{AB} AB⌢的中点 M M M,则 M ( cos α + β 2 , sin α + β 2 ) M(\cos\frac{\alpha+\beta}{2},\sin\frac{\alpha+\beta}{2}) M(cos2α+β,sin2α+β),即 O M → \overrightarrow{OM} OM= ( cos α + β 2 , sin α + β 2 ) (\cos\frac{\alpha+\beta}{2},\sin\frac{\alpha+\beta}{2}) (cos2α+β,sin2α+β)
- 连结 P Q , O M PQ,OM PQ,OM,设它们相交于点 N N N,则点 N N N为线段 P Q PQ PQ的中点 O N ⊥ P Q ON\perp{PQ} ON⊥PQ
- ∠ x O M \angle{xOM} ∠xOM= α + β 2 \frac{\alpha+\beta}{2} 2α+β; ∠ M O Q \angle{MOQ} ∠MOQ= α − β 2 \frac{\alpha-\beta}{2} 2α−β,它们分别是 α , β \alpha,\beta α,β的中间角, α , β \alpha,\beta α,β差角的半角
-
中点坐标法:
- 根据
O
N
→
\overrightarrow{ON}
ON=
cos
α
−
β
2
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
cos2α−β
⋅
\cdot
⋅
O
M
→
{\overrightarrow{OM}}
OM,以及,
O
N
→
=
1
2
(
O
P
→
+
O
Q
→
)
\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})
ON=21(OP+OQ)
- O N → \overrightarrow{ON} ON= ( cos α − β 2 cos α + β 2 , cos α − β 2 sin α + β 2 ) (\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2},\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}) (cos2α−βcos2α+β,cos2α−βsin2α+β)
- O N → \overrightarrow{ON} ON= ( P x + Q x 2 , P y + Q y 2 ) (\frac{P_{x}+Q_{x}}{2},\frac{P_{y}+Q_{y}}{2}) (2Px+Qx,2Py+Qy)= ( 1 2 ( cos α + cos β ) , 1 2 ( sin α + sin β ) ) (\frac{1}{2}(\cos\alpha+\cos\beta),\frac{1}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)) (21(cosα+cosβ),21(sinα+sinβ))
- 现在我们可以用两种形似表示
N
N
N的坐标:
- ( cos α + cos β ) (\cos\alpha+\cos\beta) (cosα+cosβ)= 2 cos α + β 2 cos α − β 2 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} 2cos2α+βcos2α−β
- ( sin α + sin β ) (\sin\alpha+\sin\beta) (sinα+sinβ)= 2 sin α + β 2 cos α − β 2 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} 2sin2α+βcos2α−β
- 将 β \beta β用 − β -\beta −β代入,得 sin α − sin β \sin\alpha-\sin\beta sinα−sinβ得化积公式
- 根据
O
N
→
\overrightarrow{ON}
ON=
cos
α
−
β
2
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
cos2α−β
⋅
\cdot
⋅
O
M
→
{\overrightarrow{OM}}
OM,以及,
O
N
→
=
1
2
(
O
P
→
+
O
Q
→
)
\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})
ON=21(OP+OQ)
-
投影法:
-
∠ P Q O = ∠ O P Q \angle{PQO}=\angle{OPQ} ∠PQO=∠OPQ= ϕ \phi ϕ, P Q PQ PQ延长线与 x x x轴交于点 T T T, ∠ Q T O = θ \angle{QTO}=\theta ∠QTO=θ,则
-
β + θ \beta+\theta β+θ= ϕ \phi ϕ; α + ϕ + θ = π \alpha+\phi+\theta=\pi α+ϕ+θ=π,所以 θ = \theta= θ= = 1 2 ( π − ( α + β ) ) \frac{1}{2}(\pi-(\alpha+\beta)) 21(π−(α+β)), cos ( θ ) \cos(\theta) cos(θ)= sin α + β 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} sin2α+β
-
∣ O P ∣ cos α + ∣ P Q ∣ cos θ = ∣ O Q ∣ cos β |OP|\cos\alpha+|PQ|\cos\theta=|OQ|\cos\beta ∣OP∣cosα+∣PQ∣cosθ=∣OQ∣cosβ
-
∣ O P ∣ = ∣ O Q ∣ = 1 |OP|=|OQ|=1 ∣OP∣=∣OQ∣=1, ∣ P Q ∣ = 2 ∣ N Q ∣ = 2 sin α − β 2 ∣ O Q ∣ |PQ|=2|NQ|=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}|OQ| ∣PQ∣=2∣NQ∣=2sin2α−β∣OQ∣= 2 sin α − β 2 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2} 2sin2α−β
-
所以 cos α + 2 sin α − β 2 sin α + β 2 \cos\alpha+2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2} cosα+2sin2α−βsin2α+β= cos β \cos\beta cosβ,
-
即 cos α − cos β \cos\alpha-\cos\beta cosα−cosβ= − 2 sin α − β 2 sin α + β 2 -2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2} −2sin2α−βsin2α+β
-
-
总结
-
sin x cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y ) 2 { \sin {x} \cos {y} ={\sin({x} +{y} )+\sin({x} -{y} ) \over 2}} sinxcosy=2sin(x+y)+sin(x−y)； sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x − y 2 { \sin {x} +\sin {y} =2\sin {\frac {{x} +{y} }{2}}\cos {\frac {{x} -{y} }{2}}} sinx+siny=2sin2x+ycos2x−y
-
cos x sin y = sin ( x + y ) − sin ( x − y ) 2 { \cos {x} \sin {y} ={\sin({x} +{y} )-\sin({x} -{y} ) \over 2}} cosxsiny=2sin(x+y)−sin(x−y)； sin x − sin y = 2 cos x + y 2 sin x − y 2 { \sin {x} -\sin {y} =2\cos {{x} +{y} \over 2}\sin {{x} -{y} \over 2}} sinx−siny=2cos2x+ysin2x−y
-
cos x cos y = cos ( x + y ) + cos ( x − y ) 2 { \cos {x} \cos {y} ={\cos({x} +{y} )+\cos({x} -{y} ) \over 2}} cosxcosy=2cos(x+y)+cos(x−y)； cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2 { \cos {x} +\cos {y} =2\cos {\frac {{x} +{y} }{2}}\cos {\frac {{x} -{y} }{2}}} cosx+cosy=2cos2x+ycos2x−y
-
sin x sin y = − cos ( x + y ) − cos ( x − y ) 2 { \sin {x} \sin {y} =-{\cos({x} +{y} )-\cos({x} -{y} ) \over 2}} sinxsiny=−2cos(x+y)−cos(x−y)； cos x − cos y = − 2 sin x + y 2 sin x − y 2 { \cos {x} -\cos {y} =-2\sin {{x} +{y} \over 2}\sin {{x} -{y} \over 2}} cosx−cosy=−2sin2x+ysin2x−y
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