math@数集@集合间的关系以及符号表示@中英文对照@集合运算及其性质

文章目录

• • abstract
  • refs
  • 集合与逻辑相关符号的latex代码
  • • 取反(Negate)/补(complement)
  • 算数运算中英文对照
  • 集合相关概念和定义
  • • 对象
    • 空集
  • 集合间的关系
  • • 定义和符号
    • • 子集@包含于@包含
      • 不包含于@不包含
      • 真子集@真包含于@真包含
      • 符号小结
    • Venn图
    • 集合相等
    • 基本性质
    • 举例
  • 集合的运算
  • • 并
    • • 定义
      • 示例
      • 基本性质
    • 交
    • • 定义
      • 基本性质
      • 示例
    • 补集(差)👺
    • • 定义
      • 基本性质👺
      • 示例
    • 对称差
    • • 定义
      • 基本性质
    • 集合间的混合运算性质
    • 集合的元素个数(基数)

abstract

• 数集及其符号表示和中英文对照
• 集合论
  • 集合间的关系以及符号表示
  • 集合运算及其性质

refs

• Number - Wikipedia
• Integer - Wikipedia

整数，在电脑应用上也称为整型，是序列
$$\{\dots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots \}$$

• 中所有的数的统称，包括负整k数、零（0）与正整数。

• 和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。

• 这个集合在数学上通常表示粗体$Z$或$\mathbb{Z}$，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

• 在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。

集合与逻辑相关符号的latex代码

符号	latex代码
1. $\cup$ 2. $\cap$ 3. $\subset$ 4. $\subseteq$ 5. $\supset$ 6. $\supseteq$ 7. $\in$ 8. $\notin$ 9. $\mathbb{R},\mathbb{Z},\mathbb{N},\mathbb{Q},\mathbb{C}$ 10. $\varnothing$ 11. $\varnothing$ 12. $\aleph$ 13. $\forall$ 14. $\exists$ 15. $\neg$ 16. $\vee$ 17. $\wedge$ 18. $⊢$ 19. $\models$ 20. $\setminus$	1. \cup 2. \cap 3. \subset 4. \subseteq 5. \supset 6. \supseteq 7. \in 8. \notin 9. \mathbb{R,Z,N,Q,C} 10. \varnothing 11. \emptyset 12. \aleph 13. \forall 14. \exists 15. \neg 16. \vee 17. \wedge 18. \vdash 19. \models 20. \setminus

取反(Negate)/补(complement)

• Negate an operator,as in $\not\subset$,Get the set complement KaTeX parse error: Undefined control sequence: \m at position 4: A^{\̲m̲}

• $\mathbb{A}$:\mathbb{A}

• $A^{\mathsf{c}}$:A^{\mathsf{c}}

• $A^{\complement }$:A^{\complement}

• $\not\subset$:\not\subset

• $\overline{A}$:\overline{A}

算数运算中英文对照

• Arithmetic - Wikipedia

集合相关概念和定义

对象

• 各种事物或抽象符号都可以看作是对象

• 一般地,把一些能够确定的,不同的对象看成一个整体,那么这个整体就是由对象的全体构成的集合(或简称集)

空集

• 集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 $\{\}$ 或符号$\varnothing$表示。
• Note:$\{\varnothing \}$是仅含由一个元素的集合,其基数是1,不同于空集$\varnothing =\{\}$本身,其包含元素个数为0,基数为0

集合间的关系

定义和符号

子集@包含于@包含

• 集合$A$、$B$，若$\forall a\in A$，有$a\in B\therefore A\subseteq B$。则称$A$是$B$的子集，亦称$A$包含于$B$，或$B$包含$A$，记作$A\subseteq B$或$B\supseteq A$

不包含于@不包含

• 否则称$A$不是$B$的子集,$A$不包含于$B$,$B$不包含$A$,记作$A⊈B$或$B⊉A$。

真子集@真包含于@真包含

• 若$A\subseteq B$，且$A\ne B$，则称$A$是$B$的真子集，亦称$A$真包含于$B$，或$B$真包含$A$，记作$A⫋B$或$B⫌A$（有时也记作$A\subset B$或$B\supset A$）。

符号小结

• 包含$\subseteq$
• 不包含$⊈$
• 真包含$⫋$
• 补充:$\subset$,其含义结合具体语境分析
  • $\subset$有时作为简写也表示包含$\subseteq$的含义,在概率论中,事件的包含就用$\subset$表示包含
  • 也可能是作为真包含$⫋$的简写

Venn图

• 我们常用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域称为维恩(Venn)图

集合相等

• 定义:一般地,若$A$的每个元素都是$B$的元素,同时$B$的每个元素也是$A$的元素,则$A,B$两集合相等,记为$A=B$
• 证明两集合相等的常用手段之一是证明$A\subseteq B,B\subseteq A$,这是定义中的条件的符号化表示
• 事实上,$A=B$ $\iff$ $A\subseteq B,B\subseteq A$

基本性质

• 包含关系“$\subseteq$”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
  • 自反性：$\forall$集合$S$，$S\subseteq S$；（任何集合都是其本身的子集）
  • 反对称性：$A\subseteq B$且$B\subseteq A\iff A=B$；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
  • 传递性：$A\subseteq B$且$B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$；
• 真包含关系“$⫋$”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
  • 反自反性：$\forall$集合$S$，$S⫋S$都不成立；
  • 非对称性：$A⫋B\Rightarrow B⫋A$不成立；反之亦然；
  • 传递性：$A⫋B$且$B⫋C\Rightarrow A⫋C$；
• 显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。
• 而$\varnothing$是这个偏序关系的最小元素，即：$\forall$集合$S$，$\varnothing \subseteq S$；且若$S\ne \varnothing$，则$\varnothing ⫋S$，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

举例

• 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。

• 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。

• $\left\{1,3\right\}⫋\left\{1,2,3,4\right\}$

• $\left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}$

集合的运算

并

• 两个集合可以相"加"。$A$和$B$的并集是将$A$和$B$的元素放到一起构成的新集合。

定义

• 给定集合$A$，$B$，定义运算$\cup$如下：$A\cup B=\{e|e\in A$或$e\in B\}$。$A\cup B$称为$A$和$B$的并集。

示例

• $\{1,2\}\cup \{$红色$,$白色$\}=\{1,2,$红色$,$白色$\}$
  $\{1,2,$绿色$\}\cup \{$红色$,$白色$,$绿色$\}=\{1,2,$红色$,$白色$,$绿色$\}$
  $\left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}$

基本性质

作为集合间的二元运算，$\cup$运算具有以下性质。

• 交换律：$A\cup B=B\cup A$；

• 结合律：$\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$；

• 幂等律：$A\cup A=A$；

• 幺元：$\forall$集合$A$，$A\cup \varnothing =A$；（$\varnothing$是$\cup$运算的幺元）。

• 设$U$为全集,则$U\cup A=U$

• 若$A\subseteq B$,则$A\cup B=B$,事实上,$A\cup B=B$ $\iff$ $A\subseteq B$

交

• 一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。$A$和$B$的交集，写作$A\cap B$，是既属于$A$的、又属于$B$的所有元素组成的集合。
  若$A\cap B=\varnothing$，则$A$和$B$称作不相交。

定义

• 给定集合$A$、$B$，定义运算$\cap$如下：$A\cap B=\{e|e\in A$且$e\in B\}$。$A\cap B$称为$A$和$B$的交集。

基本性质

作为集合间的二元运算，$\cap$运算具有以下性质。

• 交换律：$A\cap B=B\cap A$；
• 结合律：$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$；
• 幂等律：$A\cap A=A$；
• 空集合：$\forall$集合$A$，$A\cap \varnothing =\varnothing$；（$\varnothing$是$\cap$运算的空集合）。
• $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$,事实上,$A\cap B=A\iff A\subseteq B$
• 设$U$为全集,则$U\cap A=A$,

示例

• $\{1,2\}\cap \{$红色$,$白色$\}=\varnothing$
  $\{1,2,$绿色$\}\cap \{$红色$,$白色$,$绿色$\}=\{$绿色$\}$
  $\{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}$

补集(差)👺

• 两个集合也可以相"减"。
• 再研究集合之间的关系时,若要研究的集合都是某个给定集合$U$的子集,那么$U$称为全集
• $A$在$B$中的相对补集，国际上通常写作 $B\setminus A$，中文教材中有时也会写作$B-A$,表示属于$B$的、但不属于$A$的所有元素组成的集合。
• 在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集$U$的子集。
  • 这样， $U-A$称作$A$的绝对补集，或简称补集（余集），写作$A^{\prime }$或${\complement }_{U}A$或$\overline{A}$。
  • ${\complement }_{U}A$读作"$A$在$U$中的补集"
• 补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

定义

• 给定集合$A$，$B$，定义运算-如下：$A-B=\{e|e\in A$且$e\notin B\}$。
• $A-B$称为$B$对于$A$的差集，相对补集或相对余集。
• 在上下文确定了全集$U$时，对于$U$的某个子集$A$，一般称$U-A$为$A$（对于$U$）的补集或余集，通常记为$A^{\prime }$或$\bar{A}$，也有记为$A^{\text{c}}$, $A^{\prime }$, ${\complement }_{U}A$，以及$\complement A$的。

基本性质👺

• 作为集合间的二元运算，补集运算有如下基本性质：

  • $A-A=\varnothing$；

  • 右幺元：$\forall$集合$A$，$A-\varnothing =A$；（$\varnothing$是$-$运算的右幺元）。

  • 左零元：$\forall$集合$A$，$\varnothing -A=\varnothing$；（$\varnothing$是$-$运算的左零元）。

  • $AB-AC$=$BA-CA$=$A(B-C)$,从集合的定义可以知道该性质成立:$A,B$公共元素中的非$C$的元素,等价于,不在$C$中的$A,B$的公共元素

  • $B-A=B-AB=B\overline{A}$,

    • $B-A=B-AB=BU-AB=B(U-A)=B\overline{A}$

示例

• $\{1,2\}-\{$红色$,$白色$\}=\{1,2\}$
• $\{1,2,$绿色$\}-\{$红色$,$白色$,$绿色$\}=\{1,2\}$
• $\{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing$
• 若$U$是整数集，则奇数的补集是偶数

对称差

定义

• 给定集合$A$，$B$，定义对称差运算$△$如下：$A△B=(A-B)\cup (B-A)$。
• 此外$A△B=A\cup B-AB$

基本性质

• 作为集合间的二元运算，$△$运算具有如下基本性质：

• 交换律：$A△B=B△A$；

• 结合律：$(A△B)△C=A△(B△C)$；

• 幺元：$\forall$集合$A$，$A△\varnothing =A$；（$\varnothing$是$△$运算的幺元）。

• 逆元：$A△A=\varnothing$；

集合间的混合运算性质

• 集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：
• 分配律:
  • $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  • $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• 对偶律:
  • $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$
  • $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

集合的元素个数(基数)

• 如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。
• 一个集合中元素的数目称为该集合的基数。
• 数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法: $\mathrm{Card}(A),\#A,|A|,\bar{A},\overline{\stackrel{ˉ}{A}}$。其中$|A|$最为方便
• 集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。
• 关于无穷大和集合的大小,参考集合的势。