AM@函数极限

文章目录

• • abstract
  • 邻域
  • 函数的极限
  • • 函数自变量趋于有限值的极限定义@$(ϵ-\delta )$语言描述
    • 单侧极限
    • • 左极限
      • 右极限
      • 左右极限判定极限存在
    • 函数自变量趋于无穷大的极限定义@$(ϵ-X)$语言描述
    • • 极限和水平渐近线
      • Note
  • 小结
  • 例子
  • • • 例
      • 例
      • 例
  • 附

abstract

• 函数极限(函数极限内容更丰富,数列也是一种特殊的函数,除了用作极限初步介绍,也可以放在函数数列中研究)

  • 函数自变量趋于有限制的极限
  • 函数在某处的左极限和右极限
  • 函数自变量趋于无穷大的极限

邻域

• 邻域和极限符号的含义

函数的极限

• 表格markdown源码附末尾(部分平台无法正确渲染,已知typora可以)

函数自变量趋于有限值的极限定义@$(ϵ-\delta )$语言描述

• 对任意$ϵ>0$,存在$\delta >0$,当$0<|x-a|<\delta$时,有$|f(x)-A|<ϵ$,称$A$为$f(x)$当$x\to a$时的极限,记为$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$,或$f(x)\to a(x\to a)$

• 使用邻域和半形式化语言描述:$\forall ϵ>0$,$\exists \delta >0$,$x\in \mathring{U}(a,\delta )$内$f(x)\in U(A,ϵ)$,则$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$

单侧极限

左极限

• 对任意$ϵ>0$,存在$\delta >0$,当$a-\delta <x<a$时,有$|f(x)-A|<ϵ$,称$A$为$f(x)$当$x\to a^{-}$时的左极限,可记为以下三种形式之一
  • $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=A$,
  • $f(a^{-})=A$
  • $f(a-0)=A$

右极限

• 对任意$ϵ>0$,存在$\delta >0$,当$a<x<a+\delta$时,有$|f(x)-A|<ϵ$,称$A$为$f(x)$当$x\to a^{+}$时的左极限,记为
  • $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=A$
  • $f(a^{+})=A$
  • $f(a+0)=A$

左右极限判定极限存在

• 函数在某处的左极限和右极限简称为左右极限或两侧极限

• 根据$x\to x_0$时,$f(x)$的极限定义和左右极限的定义,容易证明$f(x)$当$x\to x_0$时极限存在的充要条件是左右极限各自存在并且相等,即$f(x_0^{-1})$=$f(x_0^{+})$

• 推论:若$f(a^{-}),f(a^{+})$不都存在或存在但不相等,则$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$不存在

函数自变量趋于无穷大的极限定义@$(ϵ-X)$语言描述

• 这一大类的情况延申于数列的极限,在定义上十分相似,数列本身是一种特殊的离散型函数

1. $\forall ϵ>0$,$\exists X>0$,$x>X$时,有$|f(x)-A|<ϵ$,则称$A$为$x\to +\infty$的极限,记为$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$
2. $\forall ϵ>0$,$\exists X>0$,$x<-X$时,有$|f(x)-A|<ϵ$,则称$A$为$x\to -\infty$的极限,记为$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$
3. $\forall ϵ>0$,$\exists X>0$,$|x|>X$时,有$|f(x)-A|<ϵ$,则称$A$为$x\to \infty$的极限,记为$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$

极限和水平渐近线

• 从几何上说,$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$的意义是直线$y=A-ϵ$和$y=A+ϵ$,总又一个正数$X$存在,使得当$x<-X$或$x>X$时,$f(x)$的图形位于两直线之间,直线$y=A$时函数$f(x)$的图形的水平渐近线

Note

• 容易看出,如果同时满足前2种情况,则一定满足第3种情况
• $|x|>X$ $\iff$ $x>X$或$x<-X$

小结

• 极限的定义可以用来判定某个数列等于某个极限值是否成立,但是并未给出求一个数列的极限的方法
• 极限定义法证明$f(x)\to a(x\to \ast )$类型的问题,通常要构造绝对值表达式$\Delta =\Delta (x)=|f(x)-a|$辅助推理(证明$\Delta$在给定极限过程中可以任意小);因此要掌握绝对值式的一些化简和变形技巧以及取绝对值的方法和经典问题模型
• 求极限的方法需要另外探索,例如极限存在准则中夹逼法

例子

例

• 证明$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+(-1{)}^{n-1}}{n}=1$
  • 令$f(n)$=$\frac{n+(-1{)}^{n-1}}{n}$,构造$\Delta =|f(n)-1|$,化简得$\Delta =f(n)$=$\frac{n+(-1{)}^{n-1}}{n}-1$=$|1+\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}-1|$=$|\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}|$=$\frac{1}{n}$
  • $\forall ϵ>0$,为了使$\Delta <ϵ$,只要$n\in \{n\mid \Delta <ϵ\}$=$\{n\mid \frac{1}{n}<ϵ\}$即$n>\frac{1}{ϵ}$,记$N_0=\frac{1}{ϵ}$
  • 因为$ϵ$是一个确定的实数,从而$N_0$也是一个确定的数
  • 任取$N>N_0$,当$n>N$时有$\Delta <ϵ$成立,即$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+(-1{)}^{n-1}}{n}=1$成立

例

• 令$f(n)$=$\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^2}$证明$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)=0$
  • 构造$\Delta (n)=|f(n)-0|$
  • $\forall ϵ$,为了使$\Delta (n)<ϵ$成立,只要$|f(n)-0|<ϵ$,即$|\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^2}-0|$=$\frac{1}{(n+1{)}^2}<ϵ$
  • $-\sqrt{ϵ}<\frac{1}{n+1}<\sqrt{ϵ}$,因为$\frac{1}{n+1}>0$,所以$0<\frac{1}{n+1}<\sqrt{ϵ}$,从而$n+1>\frac{1}{\sqrt{ϵ}}$,即$n>\frac{1}{\sqrt{ϵ}}-1$;不妨取$N_0=\frac{1}{\sqrt{ϵ}}$
  • $N_0$是一个确定的实数,大于$N_0$的正整数有无穷多个,任取一个记为$N$,当$n>N$就有$\Delta (n)<ϵ$
  • 所以$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)=0$
  • Note:事实上,求$N_0$或$N$时可以借助方缩,使得不等式更加简化,本例中$\Delta (n)=\frac{1}{(n+1{)}^2}<\frac{1}{n^2}$,
    • 根据放缩关系$\Delta (n)=\frac{1}{(n+1{)}^2}<\frac{1}{n^2}$,$\frac{1}{n^2}<ϵ$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{(n+1{)}^2}<ϵ$
    • 因此解$\frac{1}{n^2}<ϵ$,得$n>\frac{1}{\sqrt{ϵ}}$,取$N_0=\frac{1}{\sqrt{ϵ}}$,$N$可以任意地取自$\{m\mid m>N_0,m\in {\mathbb{N}}_{+}\}$

例

• 证明$x_0>0$时,$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x}$=$\sqrt{x_0}$(1)
• 证
  • $\forall ϵ>0$,$\Delta =|f(x)-\sqrt{x_0}|$=$|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}⩽\frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0}}$(2),令${\Delta }_1=\frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0}}$
  • 欲证明(1),只需要找到一个$\delta >0$使得$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$(即$0<|x-x_0|<\delta$(3))时总有式$\Delta <ϵ$成立即可
  • 通过求解$\Delta <ϵ$或$\Delta$放大后的${\Delta }_1$(条件强化)的${\Delta }_1<ϵ$来判断或计算处一个满足要求的$\delta$
  • 通常,经过合适的放大后的不等式会更容易求解,例如这里$\Delta <ϵ$是更好的选择,即$|x-x_0|<ϵ\sqrt{x_0}$,(4)
  • 另外要考虑函数的定义域(本例是$x⩾0$(5))
  • 为了这和这些不等式确定出满意的$\delta$值,将(3),(4)变形:
    • $x_0-\delta <x<x_0+\delta$(3-1)
    • $x_0-ϵ\sqrt{x_0}<x<x_0+ϵ\sqrt{x_0}$(4-1)
  • 由(3-1),(5),合并,可取$x_0-\delta ⩾0$,即$\delta ⩽x_0$(6)
  • 由(3),(4)(或由(3-1),(4-1))可取$\delta ⩽ϵ\sqrt{x_0}$(7)
  • 综上可以取$\delta =\min \{x_0,ϵ\sqrt{x_0}\}$(8),此时必满足$\Delta <ϵ$,从而$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x}=\sqrt{x_0}$
• 得到式(8)的过程可以更加简练:因为$x⩾0$的强化条件式为$|x-x_0|⩽x_0$(5-1)(即$0⩽x⩽2x_0$),这样通过比较(3)(5-1),(4),可得(6),(7),从而得(8)

附

以下是表格源代码,某些引擎无法正确渲染,

• 两个主要函数极限类型	对于任意	存在	当	总有
  $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$	$ϵ$	$X>0$	$	x	>X$
  $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$	$ϵ>0$	$\delta >0$	$0<	x-x_0	<\delta$