math_数学表达式&等式方程的变形&组合/构造操作技巧/手段积累

文章目录

• 数学表达式&等式方程的变形&组合操作技巧/手段积累
• • 分式
  • 方程(等式)
  • • 方程
    • 等式
    • 常见手法
  • 一般表达式处理
  • • 直观的例子
  • 构造法(通项公式/消除递推)
  • • 基本的递推模型
    • 类型抽象
    • Fibonacci Numbers斐波那契数列通项公式
    • • res
    • $a(n+1)=Aa(n)+B$
    • $a(n+1)=Aa(n)+B\cdot C^n(C\ne 0)$
  • 双参数构造
  • • • $a(n+1)=Aa(n)+Ba(n-1)$
      • • 接轨Fibonacci
      • $a(n+1)=Aa(n)+Ba(n-1)+C$

数学表达式&等式方程的变形&组合操作技巧/手段积累

分式

• 分子分母同时乘以&除以同一个表达式

  • 分子有理化
  • 分母有理化

• 分式拆分(因子重组)

方程(等式)

方程

数学中，方程（equation）可以简单的理解为含有未知数的等式，

• 即含有一个以上的未知数并结合等号的数学公式（formula）

等式

• 在数学的领域中，若两个数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作$x=y$当且仅当x和y相等。

• 通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。

  • 将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，

• 注意，有些时候$A=B$并不表示等式。

  • 例如，$T(n)=O(n^2)$

  • 表示在数量级$n^2$

  • 因为这里的符号=不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号；

  • 实际上，$O(n^2)=T(n)$

    • 是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

常见手法

• 错位相减

• 等式两边同时做相同的处理

  • 1的代换(譬如
    • 三角函数:$1=si{n}^{2}x+co{s}^{2}x$
    • 幂:$(x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})=1$
  • 同时乘方
  • 同时加上某一个表达式
  • 带入消元(减小变量个数)
  • 等式组加减消元
    • 譬如,函数的最值相关问题

一般表达式处理

表达式（expression）此处是数学表达式（mathematical expression）的简称，

• 在数学领域中是一些符号依据上下文的规则，有限而定义良好的组合。
• 数学符号可用于标定常量、变量、操作、函数、括号、标点符号和分组，帮助确定操作顺序以及有其它考量的逻辑语法。
• 表达式随语境或不同领域学科也称：表示式、数学式、运算式（operation expression）、表式、陈式、算式；数学术语若是复合词，表达式也常简作“式”；
• 例如：代数式（algebraic expression）、渐近式（asymptotic expression）。

• 列项相消

  • 譬如一部分的数列求和

    • $$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\frac{1}{(i)(i+1)}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{(i)}-\frac{1}{(i+1)}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}-\sum _{i=1}^n\frac{1}{i+1} \\ =(\frac{1}{1}+\sum _{i=2}^n\frac{1}{i})-(\sum _{i=2}^n\frac{1}{i}+\frac{1}{n+1}) \\ =1-\frac{1}{1+n} \\ 令:\{\begin{array}{l}f(i)=\frac{1}{i};\\ 则g(i)=\underline{f(i+1)}=\frac{1}{i+1},可见是一个(离散)函数的向左偏移1\end{array} \end{gathered}$$

• 对数&指数的转化

• 换元法

• 配凑法

  • 加上一个表达式再减去相同大小的表达式

    • 例如,分离常数:(可以起到集中变量x的效果)

      • $$f(x)=\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2x-1+2-2}{\frac{1}{2}(2x+2)}=\frac{2x+2-3}{x+1}=2+\frac{-3}{x+1}$$

    • 再比如导函数求导法则种的乘法求导法则的推导/证明:

      • $$\begin{gathered} f(x)=u(x)v(x) \\ {f}^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x} \\ 配凑\&组合 \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[(u(x+\Delta x)-u(x))v(x+\Delta x)]+[u(x)(v(x+\Delta x)-v(x))]}{\Delta x} \\ =\lim \Delta x\to 0\left\{\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot \frac{(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}\right\} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }u(x)\cdot \frac{(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }v(x+\Delta x) \\ +\underset{\Delta x\to 0}{\lim }u(x)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x} \\ =u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x) \end{gathered}$$

  • 拆项相消

  • 方程组成组处理(经常是相加/减)法

  • 很多和1有关

直观的例子

• 这里的元可能是指复杂的式子(作为整体)
  • 

构造法(通项公式/消除递推)

• 在数列/递推公式推导通项公式中用的很多

• 由数列递推公式求通项十大模型

基本的递推模型

• 假设我们已经知道的两个经典知递推求通项模型

  • $a(n+1)=q\cdot a(n)$

    • $a(n)=a(1)\cdot q^{n-1}$

    • $特别的,当a(1)=q的时候,a(n)=q^n★$

    • 背后的精髓在于累加消项

    • $a(n)=S(n)-S(n-1),使得前n项和能够过渡到通项公式$

    • 可以类似的推广

      • $f(a(n+1))=q\cdot f(a(n))$

        • 比如:(下面提到的x,y都表示数列{$a(n)$}或(离散)函数a(n)的一项)

          • $f(x)=x+\lambda$

            • $a(n+1)+\lambda =q\cdot (a(n)+\lambda )$
            • $a(n+1)+\lambda (n+1)+\varphi =q(a(n)+\lambda n+\varphi )$

          • $f(x,y)=x+\lambda y$

            • $a(n+1)+\lambda a(n)=q(a(n)+\lambda a(n-1))$
            • $a(n+1)+\lambda a(n)+\varphi =q(a(n)+\lambda a(n-1)+\varphi )$
            • $a(n+1)+\lambda a(n)+\varphi =q(a(n)+\lambda a(n-1)+\varphi )$

          • 对于给定的一个递推关系式,尝试上面的基础模型或者推广模型,在系数比较对应,如果能够计算出

            • $\lambda 或者q,那么这个模型有望转换为等比模型$

  • $a(n+1)=d+a(n)$

    • $a(n)=a(1)+(n-1)d$
    • $特别的,当a(1)=d的时候,a(n)=nd$
      • 主要利用累乘消项
      • $a(n)=\frac{S(n)}{S(n-1)}$
    • 可以做的推广形式,比如:
      • $f(a(n+1))=d+f(a(n))$

  • 作为一个基本模型集,可以随着经验的增加扩充这个集合,就像一个工具箱的版本迭代升级一样

  • 目标:希望求解出,a(n)的不含a(n)的非递归表达式(消除递归(递推))

类型抽象

• $a(n+1)=g(a(n+p{)}_i)$
  • 大多可以通过方程两边
    • 同乘法变形
    • 同加法变形
    • 变形方向网下面的几个一般形式上靠近
  • $a(n+1)=g(a(n+1))$
  • $F(n+1)=Q\cdot F(n)$
    • 把g中的n相关式子集中到F(n)中
  • $F(n+1)=D+\cdot F(n)$

Fibonacci Numbers斐波那契数列通项公式

• 试图有上述两个基本模型来解决各种变体,包括斐波那契数列的通项公式的求解
  • 
  • 

res

• 

$a(n+1)=Aa(n)+B$

• $$\begin{gathered} a(n+1)=Aa(n)+B \\ a(n+1)+\lambda =u(a(n)+\lambda ) \\ a(n+1)=-\lambda +u\cdot a(n)+u\lambda =u\cdot a(n)+\lambda (u-1) \\ \{\begin{array}{l}u=A\\ \lambda (u-1)=B\end{array} \\ 即\lambda =\frac{B}{A-1} \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 或者 \\ a(n+1)+\lambda =Aa(n)+B+\lambda \\ a(n+1)=Aa(n)+B=A(a(n)+\frac{B+\lambda }{A}) \\ 从而,如果\lambda =\frac{B+\lambda }{A}的话(即\lambda =\frac{B}{A-1}), \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 就得到了等比递推模型:q=A,b(n)=Aa(n)+\lambda \\ b(n)=b(1)q^{n-1} \\ Aa(n)+\lambda =(Aa(1)+\lambda )A^{n-1} \\ \{\begin{array}{l}a(n)=\frac{(Aa(1)+\lambda )A^{n-1}-\lambda }{A}\\ \lambda =\frac{B}{A-1}\end{array} \end{gathered}$$

$a(n+1)=Aa(n)+B\cdot C^n(C\ne 0)$

• $$\begin{gathered} a(n+1)=Aa(n)+B\cdot C^n(C\ne 0) \\ 同乘以\frac{1}{A^{n+1}} \\ \frac{a(n+1)}{A^{n+1}}=\frac{a(n)}{A^n}+\frac{B}{A}\cdot \frac{C^n}{A^n} \\ 记K(n)=\frac{C^n}{A^n}=(\frac{C}{A}{)}^n=\frac{C}{A}\cdot (\frac{C}{A}{)}^{n-1} \\ 记k=\frac{A}{C} \\ b(n)=\frac{a(n)}{A^n} \\ 则a(n)=b(n)\cdot A^n,可见只需要求解出b(n)的去递推表达式即可 \\ 由于K(n)不是常数,不好直接套用等差数列模型, \\ 但是却可以使用相同更加底层的累加法来处理 \\ b(n+1)=b(n)+\frac{B}{A}K(n) \\ 即b(n)=b(n-1)+K(n-1) \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 记S(n)=\sum _{i=1}^{n}b(n) \\ S(n)-b(1)=S(n-1)+\sum _{i=1}^{n-1}K(n) \\ 当A\ne C(k\ne 1)时,\sum _{i=1}^{n-1}K(n)=\frac{k(k^{n-1}-1)}{k-1} \\ b(n)=b(1)+\frac{B}{A}\frac{k(k^{n-1}-1)}{k-1} \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 或者对a(n+1)=Aa(n)+B\cdot C^n(C\ne 0) \\ 同乘以\frac{1}{C^{n+1}} \\ \frac{a(n+1)}{C^{n+1}}=\frac{A}{C}\frac{a(n)}{C^n}+\frac{B}{C} \\ 并记c(n)=\frac{a(n)}{C^n} \\ 转化为类型:c(n+1)=Ac(n)+B \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 特别的,当C=A,即k=1时:K(n)=1,\sum _{i=1}^{n-1}K(n)=n-1 \\ \frac{a(n+1)}{A^{n+1}}=\frac{a(n)}{A^n}+\frac{B}{A} \\ b(n+1)=b(n)+\frac{B}{A}, \\ 这得到了形如等差递推模型的递推式子b(n)=b(1)+\frac{B}{A}(n-1) \end{gathered}$$

双参数构造

$a(n+1)=Aa(n)+Ba(n-1)$

• $$\begin{gathered} a(n+1)=Aa(n)+Ba(n-1) \\ 这种递推形式等式两边不协调,因此,我们考虑为左边配凑成形如右边的式子 \\ f(n)=f(a(n+1),a(n))\sim f(n-1)=f(a(n),a(n-1)) \\ 按照习惯,优先让等式左边LHS的系数简单一些 \\ a(n+1)+\lambda a(n)=u(a(n)+\lambda a(n-1))★ \\ 如果可以求解出\lambda ,u,那么b(n)=a(n+1)+\lambda a(n)将是一个等比数列 \\ 公比为u,首项b(1)=a(2)+\lambda a(1) \\ 为了比较系数能够方便地进行,我们展开并整理上面的"试探针" \\ a(n+1)=a(n)\cdot (u-\lambda )+u\lambda \cdot a(n-1) \\ \{\begin{array}{l}A=u-\lambda \\ B=u\lambda \end{array} \\ 求解上面的二元二次方程(可以化为一元二次方程:B=(A+\lambda )\lambda , \\ 先求出\lambda ,再求出u=A+\lambda \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 现在假设\lambda 和u都已经求解出来 \\ 我们记b(n)=a(n+1)+\lambda a(n),其公比为u,首项b(1)=a(2)+\lambda a(1) \\ b(n)=b(1)\cdot u^{n-1}, \\ b(n)=(a(2)+\lambda a(1))\cdot u^{n-1} \end{gathered}$$

接轨Fibonacci

$$\begin{gathered} 特别的,当A=B=1,且a(2)=a(1)=1的是Fibonacci数列的递推公式 \\ \{\begin{array}{l}1=u-\lambda 即,\lambda +1=u\\ 1=u\lambda \end{array} \\ 此时B=(1+\lambda )\lambda =1 \\ {x}^2+x-1=0 \\ (x+\frac{1}{2}{)}^2=1+\frac{1}{4} \\ x+\frac{1}{2}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{5} \\ \lambda =\frac{\pm \sqrt{5}-1}{2} \\ u=1+\lambda =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \\ 如果取\lambda >0 \\ \lambda =\frac{\sqrt{5}-1}{2};u=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ a(n+1)=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a(n)+\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ b(n)=a(n+1)+\lambda a(n) \\ b(n+1)=b(1)\cdot u^{n-1}=(1+\lambda )\cdot u^{n-1}=u\cdot u^{n-1}=u^n \\ 即b(n)=u^n \\ {u}^n=a(n+1)+\lambda a(n)★ \\ a(n+1)=-\lambda a(n)+u^n \\ 进而转为类型a(n+1)=Aa(n)+B\cdot C^n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 对等式两边同乘以\frac{1}{u^n} \\ \frac{a(n+1)}{u^{n+1}}=\frac{-\lambda }{u}\frac{a(n)}{u^n}+\frac{1}{u} \\ 记c(n)=\frac{a(n)}{u^n} \\ c(n+1)=\frac{-\lambda }{u}c(n)+\frac{1}{u} \\ 问题类型回到a(n+1)=Aa(n)+B: \\ c(n+1)=\frac{-\lambda }{u}c(n)+\frac{1}{u} \\ 构造:c(n+1)+p=q(c(n+1)+p) \\ \{\begin{array}{l}p=\frac{\frac{1}{u}}{\frac{-\lambda }{u}-1}=\frac{-1}{\lambda +u}\\ q=\frac{-\lambda }{u}\\ \lambda =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ u=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array} \\ 设d(n)=c(n)+p=\frac{a(n)}{u^n}+p \\ d(n)=d(1)\cdot q^{n-1}=(\frac{1}{u}+p)(\frac{-\lambda }{u}{)}^{n-1} \\ a(n)=u^{n}c(n)=u^n(d(n)-p) \end{gathered}$$

$a(n+1)=Aa(n)+Ba(n-1)+C$

• $$\begin{gathered} 尝试消去常数C,将问题转换为a(n+1)=Aa(n)+Ba(n-1)类型 \\ a(n+1)=Aa(n)+Ba(n-1)+C \\ a(n+2)=Aa(n+1)+Ba(n)+C \\ a(n+2)-a(n+1)=A(a(n+1)-a(n))+B(a(n)-a(n-1)) \\ 记b(n)=a(n+1)-a(n) \\ b(n+1)=Ab(n)-Bb(n-1) \end{gathered}$$