AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式
文章目录
abstract
- 函数逼近的概念
- 低阶,高阶多项式函数逼近函数逼近
- 函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式
- 泰勒中值定理的两种形式和两种余项及其证明
- Peano型
- Lagrange型
- 泰勒中值定理和拉格朗日中值定理的关系
引言
- 对于一些较复杂的函数,为了便于研究,人们往往希望用一些简单的函数来近似表达
- 由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加,减,乘三种算术运算,就能够算出他们的函数值,因此多项式是一种理想的用来近似表达(复杂)函数
逼近
- 用一个容易计算/结构简单的函数来来近似的表达一个复杂的函数,这种近似表达在数学上称为逼近(近似)
低阶近似
-
由(一阶)微分近似计算公式 f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + d y f(x)\approx f(x_0)+\mathrm{d}y f(x)≈f(x0)+dy= f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) f(x0)+f′(x0)(x−x0)可知,当 x 0 = 0 x_0=0 x0=0, ∣ x − x 0 ∣ = ∣ x ∣ → 0 |x-x_0|=|x|\to{0} ∣x−x0∣=∣x∣→0时,有 e x ≈ 1 + x e^{x}\approx{1+x} ex≈1+x, ln ( 1 + x ) ≈ x \ln{(1+x)}\approx{x} ln(1+x)≈x
-
上述例子使用简单的一次多项式近似表达非多项式函数的例子
-
这里的近似局限于 x = 0 x=0 x=0附近(离 x = 0 x=0 x=0较远的点近似效果越差(误差越大))
-
它们的共同特点是:在被近似函数和近似函数在点 x = 0 x=0 x=0处的一阶导数值都是相同的
- ( e x ) ′ ∣ x = 0 (e^{x})'|_{x=0} (ex)′∣x=0= ( 1 + x ) ′ ∣ x = 0 (1+x)'|_{x=0} (1+x)′∣x=0= 1 1 1
- ( ln ( 1 + x ) ) ′ ∣ x = 0 (\ln(1+x))'|_{x=0} (ln(1+x))′∣x=0= ( x ) ′ ∣ x = 0 (x)'|_{x=0} (x)′∣x=0= 1 1 1
-
-
小结:这种一次多项式近似的精度不高,因为它差生的误差仅是关于 x x x的高阶无穷小
高阶逼近
- 为了提高精度,可以尝试用更高次的多项式来逼近被近似函数,这个问题可以描述为:
- 设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处具有
n
n
n阶导数,试找出一个关于
(
x
−
x
0
)
(x-x_0)
(x−x0)的
n
n
n次多项式(不妨称为逼近多项式函数,简称逼近多项式或多项式)
-
p
n
(
x
)
p_{n}(x)
pn(x)=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
+
a
n
(
x
−
x
0
)
n
a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^{n}
a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n=
∑
i
=
0
n
a
i
(
x
−
x
0
)
i
\sum_{i=0}^{n}a_i(x-x_0)^{i}
∑i=0nai(x−x0)i
(0)
-
p
n
(
x
)
p_{n}(x)
pn(x)=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
+
a
n
(
x
−
x
0
)
n
a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^{n}
a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n=
∑
i
=
0
n
a
i
(
x
−
x
0
)
i
\sum_{i=0}^{n}a_i(x-x_0)^{i}
∑i=0nai(x−x0)i
- 并且要求
p
n
(
x
)
p_{n}(x)
pn(x)和
f
(
x
)
f(x)
f(x)之差是当
x
→
x
0
x\to{x_0}
x→x0时比
(
x
−
x
0
)
n
(x-x_0)^{n}
(x−x0)n
(0-1)高阶的无穷小 o ( ( x − x 0 ) n ) o((x-x_0)^{n}) o((x−x0)n)
- 设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处具有
n
n
n阶导数,试找出一个关于
(
x
−
x
0
)
(x-x_0)
(x−x0)的
n
n
n次多项式(不妨称为逼近多项式函数,简称逼近多项式或多项式)
- 若 f ( x ) f(x) f(x)用 n n n次多项式 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x)来逼近,则称 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x)时 f ( x ) f(x) f(x)的 n n n阶逼近多项式
例
- 泰勒公式使用使用多项式 p p p(polynominal)来逼近一个给定函数 f ( x ) f(x) f(x);
- 我们用 p i p_i pi= p i ( x ) p_{i}(x) pi(x)来描述逼近 f ( x ) f(x) f(x)的过程:
- 例如
-
一阶近似:
- p 1 = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) p_1=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) p1=f(x0)+f′(x0)(x−x0)= a 0 + a 1 ( x − x 0 ) a_0+a_1(x-x_0) a0+a1(x−x0)
-
二阶近似:
- p 2 = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 p_2=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2 p2=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2
-
…(更高精度的逼近函数)
-
求解逼近多项式函数
- 确定 f ( x ) f(x) f(x)的 n n n阶逼近多项式 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x),就是要确定 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x)的 n + 1 n+1 n+1个系数系数
多项式系数的确定
-
由于被逼近函数 f ( x ) f(x) f(x)和逼近多项式函数 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x)是逼近的或者相似的,则两个函数应该存在某些共性
-
参考一阶微分近似,在点 x 0 x_0 x0处的函数值和导数对应相等:
- p 1 ( x 0 ) = f ( x 0 ) p_{1}(x_0)=f(x_0) p1(x0)=f(x0),
- p 1 ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) p_1'(x_0)=f'(x_0) p1′(x0)=f′(x0)
-
因此假设高阶逼近中 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x)和 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处的函数值和 i ( i = 1 , ⋯ , n ) i(i=1,\cdots,n) i(i=1,⋯,n)阶导数都对应相同
-
P
n
(
i
)
(
x
0
)
=
f
(
i
)
(
x
0
)
P_n^{(i)}{(x_0)}=f^{(i)}{(x_0)}
Pn(i)(x0)=f(i)(x0),
i
=
1
,
⋯
,
n
i=1,\cdots,n
i=1,⋯,n
(1) -
p
n
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
p_{n}(x_0)=f(x_0)
pn(x0)=f(x0)
(1-1)
-
P
n
(
i
)
(
x
0
)
=
f
(
i
)
(
x
0
)
P_n^{(i)}{(x_0)}=f^{(i)}{(x_0)}
Pn(i)(x0)=f(i)(x0),
i
=
1
,
⋯
,
n
i=1,\cdots,n
i=1,⋯,n
-
下面利用高阶求导公式 ( ( x − x 0 ) k ) ( n ) ((x-x_0)^{k})^{(n)} ((x−x0)k)(n)= k ( k − 1 ) ⋯ ( k − n + 1 ) ( x − x 0 ) k − n k(k-1)\cdots{(k-n+1)}(x-x_0)^{k-n} k(k−1)⋯(k−n+1)(x−x0)k−n= T k ( n ) ( x ) T_{k}^{(n)}(x) Tk(n)(x)来计算 p n p_{n} pn的各项和整体(在 x 0 x_0 x0处)导数
- k < n k<n k<n时 T k ( n ) T_{k}^{(n)} Tk(n)=0
- k = n k=n k=n时, T k ( n ) = n ! T_{k}^{(n)}=n! Tk(n)=n!
-
n n n阶逼近函数 p n ( x ) = ∑ i = 0 n a i ( x − x 0 ) i p_n(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i(x-x_0)^{i} pn(x)=∑i=0nai(x−x0)i,令 T k = [ a k ( x − x 0 ) k ] T_{k}=[a_{k}(x-x_0)^{k}] Tk=[ak(x−x0)k]
(2), ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) (k=0,1,2,\cdots,n) (k=0,1,2,⋯,n), p n ( x ) = ∑ i = k n T k ( x ) p_{n}(x)=\sum_{i=k}^{n}T_{k}(x) pn(x)=∑i=knTk(x)-
T
k
(
i
)
(
x
)
T_{k}^{(i)}(x)
Tk(i)(x)
(2-1)- = 0 0 0, k < i k<i k<i
- = a k k ! a_{k}k! akk!, k = i k=i k=i
- = a k [ k ( k − 1 ) ⋯ ( k − n + 1 ) ( x − x 0 ) k − n ] a_{k}[k(k-1)\cdots{(k-n+1)}(x-x_0)^{k-n}] ak[k(k−1)⋯(k−n+1)(x−x0)k−n], k > i k>i k>i
-
T
k
(
i
)
(
x
0
)
T_{k}^{(i)}(x_0)
Tk(i)(x0)
(2-2)- = 0 0 0, k < i k<i k<i
- = a k k ! a_{k}k! akk!, k = i k=i k=i
- = 0 0 0, k > i k>i k>i
-
T
k
(
i
)
(
x
)
T_{k}^{(i)}(x)
Tk(i)(x)
-
可见 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x)的第 i i i项 T k ( i ) ( x ) T_{k}^{(i)}(x) Tk(i)(x)在 x 0 x_0 x0处的 i i i阶导,只有 k = i k=i k=i次项的导数非0
-
p n ( i ) ( x 0 ) p_{n}^{(i)}(x_0) pn(i)(x0)= ∑ k = 0 n T k ( i ) ( x 0 ) \sum_{k=0}^{n}T_{k}^{(i)}(x_0) ∑k=0nTk(i)(x0)= T i i ( x 0 ) = a i i ! T_{i}^{i}(x_0)=a_ii! Tii(x0)=aii!
(3) -
把(3)代入(1)式,得 a i i ! = f ( i ) ( x 0 ) a_ii!=f^{(i)}(x_0) aii!=f(i)(x0),可得 a i a_i ai= 1 i ! f ( i ) ( x 0 ) \frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0) i!1f(i)(x0),
(4)i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n i=0,1,2,\cdots,n i=0,1,2,⋯,n- 当 i = 0 i=0 i=0时, a 0 = f ( x 0 ) a_0=f(x_0) a0=f(x0), f ( 0 ) ( x ) f^{(0)}(x) f(0)(x)= f ( x ) f(x) f(x)(零次导相当于不求导)
泰勒多项式
- 现在,式(0)可以改写为
p
n
(
x
)
p_n(x)
pn(x)=
∑
k
=
0
n
a
k
(
x
−
x
0
)
k
\sum_{k=0}^{n}a_k(x-x_0)^{k}
∑k=0nak(x−x0)k=
∑
k
=
0
n
1
k
!
f
(
k
)
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
k
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^{k}
∑k=0nk!1f(k)(x0)(x−x0)k
(5) - 这个公式经常展开写:
p
n
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
1
2
!
f
′
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
p_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots
pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!1f′′(x0)(x−x0)2+⋯+
1
n
!
f
(
n
)
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
n
\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n}
n!1f(n)(x0)(x−x0)n
(5-1) - 式(5)(或(5-1))称为泰勒多项式,具体的称为:
- 函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处的** n n n次泰勒多项式**,或者称"按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0)的幂展开"的 n n n次泰勒多项式
- 显然 p n ( x 0 ) = f ( x 0 ) p_{n}(x_0)=f(x_0) pn(x0)=f(x0),这就是式(1-1),因此该条件包含于条件(1)
泰勒中值定理1
- 若函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处具有
n
n
n阶导数,那么
∃
U
(
x
0
)
\exist{U(x_0)}
∃U(x0),
∀
x
∈
U
(
x
0
)
\forall{x\in{U(x_0)}}
∀x∈U(x0),有:
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
∑
k
=
0
n
1
k
!
f
(
k
)
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
k
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^{k}
∑k=0nk!1f(k)(x0)(x−x0)k+
R
n
(
x
)
R_{n}(x)
Rn(x)
(6)成立(其中 R n ( x ) = o ( ( x − x 0 ) n ) R_{n}(x)=o((x-x_0)^{n}) Rn(x)=o((x−x0)n)(7) - 定理的另一种表述:若
f
(
x
)
f(x)
f(x)表示成式(6),则有式(7)成立
- 式(6)可以写成:
f
(
x
)
=
p
n
(
x
)
+
R
n
(
x
)
f(x)=p_{n}(x)+R_{n}(x)
f(x)=pn(x)+Rn(x)
(8),即 R n ( x ) = f ( x ) − p n ( x ) R_{n}(x)=f(x)-p_n(x) Rn(x)=f(x)−pn(x)(8-1)
- 式(6)可以写成:
f
(
x
)
=
p
n
(
x
)
+
R
n
(
x
)
f(x)=p_{n}(x)+R_{n}(x)
f(x)=pn(x)+Rn(x)
证明
- 由式(1)可知
R
n
(
k
)
(
x
)
∣
x
=
x
0
=
f
(
k
)
(
x
)
∣
x
=
x
0
−
p
n
(
k
)
(
x
)
∣
x
=
x
0
=
0
R_n^{(k)}(x)|_{x=x_0}=f^{(k)}(x)|_{x=x_0}-p_n^{(k)}(x)|_{x=x_0}=0
Rn(k)(x)∣x=x0=f(k)(x)∣x=x0−pn(k)(x)∣x=x0=0,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
k=1,2,\cdots,n
k=1,2,⋯,n
- 即
R
n
(
x
0
)
=
R
n
′
(
x
0
)
=
R
n
′
′
(
x
0
)
R_n(x_0)=R_{n}'(x_0)=R_{n}''(x_0)
Rn(x0)=Rn′(x0)=Rn′′(x0)=
⋯
\cdots
⋯ =
R
n
(
n
)
(
x
0
)
=
0
R_{n}^{(n)}(x_0)=0
Rn(n)(x0)=0
(8-2)
- 即
R
n
(
x
0
)
=
R
n
′
(
x
0
)
=
R
n
′
′
(
x
0
)
R_n(x_0)=R_{n}'(x_0)=R_{n}''(x_0)
Rn(x0)=Rn′(x0)=Rn′′(x0)=
⋯
\cdots
⋯ =
R
n
(
n
)
(
x
0
)
=
0
R_{n}^{(n)}(x_0)=0
Rn(n)(x0)=0
-
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)的可导性:
- 由于 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处有 n n n阶导数,因此 f ( x ) f(x) f(x)必在 x 0 x_0 x0的某邻域内存在 n − 1 n-1 n−1阶导(有高阶导则必有低阶导)
- 从而 R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)也在该邻域内有 n − 1 n-1 n−1阶导数
- 为了证明式(7),构造
g
(
x
)
=
R
n
(
x
)
(
x
−
x
0
)
n
g(x)=\frac{R_{n}(x)}{(x-x_0)^{n}}
g(x)=(x−x0)nRn(x),这是一个
x
→
x
0
x\to{x_0}
x→x0时的
0
0
\frac{0}{0}
00型未定式,反复运用洛必达法则:
- lim x → x 0 R n ( x ) ( x − x 0 ) n \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n}} x→x0lim(x−x0)nRn(x)= lim x → x 0 R n ′ ( x ) n ( x − x 0 ) n − 1 \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_n'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}} x→x0limn(x−x0)n−1Rn′(x)= lim x → x 0 R n ′ ′ ( x ) n ( n − 1 ) ( x − x 0 ) n − 2 \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_{n}''(x)}{n(n-1)(x-x_0)^{n-2}} x→x0limn(n−1)(x−x0)n−2Rn′′(x)= ⋯ \cdots ⋯= lim x → x 0 R n ( n − 1 ) ( x ) n ! ( x − x 0 ) \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_{n}^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)} x→x0limn!(x−x0)Rn(n−1)(x)= lim x → x 0 R n ( n ) ( x ) n ! \lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_{n}^{(n)}(x)}{n!} x→x0limn!Rn(n)(x)=0
- 可见,式(7)成立,从而定理成立
带有Peano余项的泰勒公式
- 式(6)称为 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处(或按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0)的幂展开)的带有Peano余项的 n n n阶泰勒公式
Peano余项与近似误差
- 式(7)称为Peano余项
- 它是 n n n次泰勒多相似来近似 f ( x ) f(x) f(x)所产生的误差,这个误差是比 ( x − x 0 ) n (x-x_0)^{n} (x−x0)n高阶的无穷小
泰勒中值定理2
- 若函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处具有
n
+
1
n+1
n+1阶导数,那么
∃
U
(
x
0
)
\exist{U(x_0)}
∃U(x0),
∀
x
∈
U
(
x
0
)
\forall{x\in{U(x_0)}}
∀x∈U(x0),有:
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
∑
k
=
0
n
1
k
!
f
(
k
)
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
k
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^{k}
∑k=0nk!1f(k)(x0)(x−x0)k+
R
n
(
x
)
R_{n}(x)
Rn(x)
(9-T)(即式(6))成立- 且
R
n
(
x
)
R_{n}(x)
Rn(x)=
T
n
+
1
T_{n+1}
Tn+1=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1
(9), ξ \xi ξ是 x 0 , x x_0,x x0,x之间的某个值,即 ξ ∈ ( x 0 , x ) \xi\in{(x_0,x)} ξ∈(x0,x)或 ( x , x 0 ) (x,x_0) (x,x0)- 虽然 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)脚标为 n n n但是其展开式是 n + 1 n+1 n+1,因此还可以记为 T n + 1 T_{n+1} Tn+1
-
p
n
(
n
+
1
)
(
x
)
=
0
p_{n}^{(n+1)}(x)=0
pn(n+1)(x)=0
(9-0),因为 p n p_n pn是 n n n次多项式,其 n n n阶导数为常数, n + 1 n+1 n+1阶导数为0 -
R
n
(
n
+
1
)
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
R_{n}^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(\xi)
Rn(n+1)(x)=f(n+1)(ξ)
(9-0-1)
- 和定理1不同的地方在于,定理2要求
x
0
x_0
x0处
f
(
x
)
f(x)
f(x)有
n
+
1
n+1
n+1阶导数
(P1) - 这个形式的余项和 Δ y = f ′ ( ξ ) Δ x \Delta{y}=f'(\xi)\Delta{x} Δy=f′(ξ)Δx= f ′ ( ξ ) ( x − x 0 ) f'(\xi)(x-x_0) f′(ξ)(x−x0), ξ ∈ \xi\in ξ∈(拉格朗日有限增长定理形式上有相似性)
- 且
R
n
(
x
)
R_{n}(x)
Rn(x)=
T
n
+
1
T_{n+1}
Tn+1=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1
证明
- 证明定理2只需要证明式(9)成立,定理1的证明反复使用洛必达法则,定理2的证明则反复使用柯西中值定理
- 记
R
n
(
x
)
R_{n}(x)
Rn(x)=
f
(
x
)
−
p
n
(
x
)
f(x)-p_{n}(x)
f(x)−pn(x)
(9-1)(和式(8)一样)- 由条件(P1)可知, R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)在 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内具有 n + 1 n+1 n+1阶导数,且同样有式(8-2)
- 对
R
n
(
x
)
R_{n}(x)
Rn(x)和
g
(
x
)
g(x)
g(x)=
(
x
−
x
0
)
n
+
1
(x-x_0)^{n+1}
(x−x0)n+1
(9-1-1)两个函数在 x 0 , x x_0,x x0,x为端点的区间(不妨记为 Δ 1 = Δ ( x 0 , x ) \Delta_1=\Delta({x_0,x}) Δ1=Δ(x0,x),(例如取 Δ 1 = [ x 0 , x ] , ( x 0 < x ) \Delta_1=[x_0,x],(x_0<x) Δ1=[x0,x],(x0<x)上满足柯西定理条件,从而由柯西中值定理, R n ( x ) − R n ( x 0 ) g ( x ) − g ( x 0 ) \frac{R_{n}(x)-R_{n}(x_0)}{g(x)-g(x_0)} g(x)−g(x0)Rn(x)−Rn(x0)= R n ′ ( ξ 1 ) g ′ ( ξ ) \frac{R_{n}'(\xi_1)}{g'(\xi)} g′(ξ)Rn′(ξ1)(9-2) - 由
g
(
x
0
)
=
0
g(x_0)=0
g(x0)=0,以及式(8-2),等号左边表示为
R
n
(
x
)
g
(
x
)
\frac{R_{n}(x)}{g(x)}
g(x)Rn(x),从而
R
n
(
x
)
g
(
x
)
\frac{R_{n}(x)}{g(x)}
g(x)Rn(x)=
R
n
′
(
ξ
1
)
g
′
(
ξ
1
)
\frac{R_{n}'(\xi_1)}{g'(\xi_1)}
g′(ξ1)Rn′(ξ1)
(9-2-1) - 与
R
n
(
0
)
(
x
)
R_{n}^{(0)}(x)
Rn(0)(x),
g
(
0
)
(
x
)
g^{(0)}(x)
g(0)(x)在
Δ
(
x
0
,
x
)
\Delta(x_0,x)
Δ(x0,x)上应用柯西中值定理相仿,对
R
n
(
1
)
(
x
)
R_{n}^{(1)}(x)
Rn(1)(x),
g
(
1
)
(
x
)
g^{(1)}(x)
g(1)(x)在区间
Δ
2
(
x
0
,
ξ
1
)
\Delta_2(x_0,\xi_1)
Δ2(x0,ξ1)上应用柯西中值定理得:
R
n
′
(
ξ
1
)
g
′
(
ξ
1
)
\frac{R'_{n}(\xi_1)}{g'(\xi_1)}
g′(ξ1)Rn′(ξ1)=
R
n
′
′
(
ξ
2
)
g
′
′
(
ξ
2
)
\frac{R_{n}''(\xi_2)}{g''(\xi_2)}
g′′(ξ2)Rn′′(ξ2)
(9-2-2), ( ξ 2 ∈ Δ 2 ) (\xi_2\in\Delta_2) (ξ2∈Δ2)- 比较(9-2-1),(9-2-2),两式相等,即 R n ( x ) g ( x ) \frac{R_{n}(x)}{g(x)} g(x)Rn(x)= R n ′ ′ ( ξ 2 ) g ′ ′ ( ξ 2 ) \frac{R_{n}''(\xi_2)}{g''(\xi_2)} g′′(ξ2)Rn′′(ξ2)
- 事实上,按照次方法执第
n
+
1
n+1
n+1次后,
R
n
(
x
)
g
(
x
)
\frac{R_n(x)}{g(x)}
g(x)Rn(x)=
R
n
(
n
+
1
)
(
ξ
)
g
(
n
+
1
)
(
x
)
\frac{R_{n}^{(n+1)}(\xi)}{g^{(n+1)}(x)}
g(n+1)(x)Rn(n+1)(ξ)=
R
n
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
\frac{R_{n}^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}
(n+1)!Rn(n+1)(ξ)
(9-2-(n+1)),( ξ ∈ Δ n + 1 ( x 0 , ξ n ) \xi\in\Delta_{n+1}(x_0,\xi_n) ξ∈Δn+1(x0,ξn));显然, ξ ∈ ( x 0 , x ) \xi\in(x_0,x) ξ∈(x0,x) - 即: R n ( x ) g ( x ) \frac{R_{n}(x)}{g(x)} g(x)Rn(x)= R n ′ ( ξ 1 ) g ′ ( ξ 1 ) \frac{R'_{n}(\xi_1)}{g'(\xi_1)} g′(ξ1)Rn′(ξ1)= R n ′ ′ ( ξ 2 ) g ′ ′ ( ξ 2 ) \frac{R_{n}''(\xi_2)}{g''(\xi_2)} g′′(ξ2)Rn′′(ξ2)= ⋯ \cdots ⋯= R n ( n + 1 ) ( ξ n + 1 ) ( n + 1 ) ! \frac{R_{n}^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!} (n+1)!Rn(n+1)(ξn+1),(记 ξ n + 1 \xi_{n+1} ξn+1= ξ \xi ξ)
- 由(9-0-1),得 R n ( x ) g ( x ) \frac{R_n(x)}{g(x)} g(x)Rn(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (n+1)!f(n+1)(ξ),即 R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! g ( x ) \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}g(x) (n+1)!f(n+1)(ξ)g(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,这就是式(9)
- 式(9-T)称为 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处(或按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0)得幂展开)得带有Lagrange余项的 n n n阶泰勒公司和
- 而 R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)的表达式(9)称为Lagrage余项
lagrange余项和误差估算
- 上述定理(泰勒定理1)告诉了我们 R n ( x ) = o ( ( x − x 0 ) n ) R_n(x)=o((x-x_0)^{n}) Rn(x)=o((x−x0)n),但是该定理并不能具体估算误差大小
- 估算具体误差可以借助另一种余项的泰勒定理来解决: R n ( x ) R_{n}(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1
Taylor中值定理2和Lagrange中值定理的关系
- 当 n = 0 n=0 n=0时,式(9-T)为0阶Largrange型泰勒公式,即 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( ξ ) ( x − x 0 ) f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0) f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x−x0),这同时也是Lagrange中值公式
- 这表明,Taylor中值定理2是Lagrage中值定理的推广
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2021-07-03 python_bytes(字节串)/string(字符串)/unicode码/utf-8编码/字面值/原始字符串/字符串编码&字节解码