AM@导数的定义@一元函数可导和连续的关系

文章目录

• • abstract
  • 增量和变化过程
  • • 导数的极限定义形式
  • 函数在$x=x_0$导数的定义
  • • 假设
    • 可导和导数
    • 不可导和导数无穷大
  • 导函数的定义
  • • 极限式中的变量👺
  • 导数定义的应用
  • • 正整数指数幂函数导数
    • 幂函数导数
    • 对数函数的导数推导
  • 切线方程和法线方程
  • • 例
    • 例
    • • 方法1
      • 方法2
  • 函数的可导性和连续性的关系
  • • 证明

abstract

• 导数时微分学的基本概念
• 可以从两个和导数概念形成有密切关系的问题:速度问题和切线问题开始介绍
  • $\overline{v}=\frac{s-s_0}{t-t_0}$=$\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$;$v=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$
  • $\tan \varphi =\frac{y-y_0}{x-x_0}$=$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$;$k=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
  • 也就是从平均变化率质变为$x_0$处的变化率,其反映了因变量随自变量的变化而变换的快慢程度
• 科学技术领域许多概念都有相同的数学形式,从而抽象出函数导数的概念

增量和变化过程

• $\Delta x=x-x_0$

  • $x\to x_0$ $\iff$ $\Delta x\to 0$
  • 若令$\Delta x=h$,则$x\to x_0$ $\iff$ $h\to 0$

• $\Delta y=f(x)-f(x_0)$=$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$=$f(x)-f(x_0)$

  • $f(x)\to f(x_0)$ $\iff$ $\Delta y\to 0$

导数的极限定义形式

• 以下表示形式含义是相同的
  1. $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
  2. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$
  3. $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

函数在$x=x_0$导数的定义

假设

• 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义,当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$时(点$x_0+\Delta x$仍然在该邻域内),相应地,因变量取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

可导和导数

• 若$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=A$存在,则$y=f(x)$在$x_0$处可导

• 并称该极限$A$为函数$y=f(x)$在$x_0$处地导数,记为$f^{\prime }(x_0)$

  • 即$f^{\prime }(x_0)$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$(1)

  • 也可以记为:$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$,或$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$,或$\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

  • $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\{\begin{array}{l}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{array}$$

• 这里强调$x_0$处的导数,与导函数的简称导数不同

不可导和导数无穷大

• 如果导数定义中的极限式(1)不存在,则$x_0$处不可导
• 如果不可导的原因是极限为无穷大,则为方便起见,称**$x=x_0$处导数无穷大**
  • 其表示函数在$x=x_0$处不可导,且原因是极限式(1)无穷大,而不是说导数存在

导函数的定义

• 和导数的定义类似,我们将导数定义中的$x_0$替换为$x$即得导函数(简称导数)
  • $f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

极限式中的变量👺

• 上述定义中,在极限过程中$\Delta x$或$h$是变量,而$x$是常量

  • 正确定位表达式中的变量对于相关推理和证明是重要的

• 利用本定义求具体函数的导数常使用后一种极限形式

• 导函数$f^{\prime }(x)$在点$x_0$的函数值和$f(x)$在点$x_0$的导数值的关系

  • 函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f^{\prime }(x_0)$就是导函数$f^{\prime }(x)$在**$x_0$处的取值**:$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x){|}_{x=x_0}$

导数定义的应用

• 用导数定义推导

正整数指数幂函数导数

• 求$f(x)=x^n$,$n\in {\mathbb{N}}_{+}$的导数

  • $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}$
    • $N$=$(x+h{)}^n-x^n$=$(x+h-x){\sum }_{i=1}^n(x+h{)}^{n-i}{x}^{i-1}$
    • 令$H(h)$=${\sum }_{i=1}^n(x+h{)}^{n-i}{x}^{i-1}$=$((x+h{)}^{n-1}+(x+h{)}^{n-2}x+\cdots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1})$
    • 则$N=hH(h)$
  • $f^{\prime }(x)$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{N}{h}$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{hH(h)}{h}$=$\underset{h\to 0}{\lim }H(h)$=${\sum }_{i=1}^n\underset{h\to 0}{\lim }(x+h{)}^{n-i}{x}^{i-1}$=${\sum }_{i=1}^n{x}^{n-1}$=$n{x}^{n-1}$
  • 或者$H(h)$=$n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}h+\cdots +h^{n-1}$,$\underset{h\to 0}{\lim }H(h)=n{x}^{n-1}$

• 对于实指数幂,需要更一般的方法

幂函数导数

• $f(x)=x^{\mu },(\mu \in \mathbb{R})$
• 幂函数的定义域和常数$\mu$有关,假设$x$在$x^{\mu }$的定义域内且$x\ne 0$
• 则$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$=$\frac{(x+h{)}^{\mu }-x^{\mu }}{h}$=$\frac{1}{h}{x}^{\mu }((\frac{x+h}{x}{)}^{\mu }-1)$=$x^{\mu -1}\cdot \frac{(1+\frac{h}{x}{)}^{\mu }-1}{\frac{h}{x}}$
• $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$=$\underset{h\to 0}{\lim }{x}^{\mu -1}\cdot \frac{(1+\frac{h}{x}{)}^{\mu }-1}{\frac{h}{x}}$=$x^{\mu -1}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(1+\frac{h}{x}{)}^{\mu }-1}{\frac{h}{x}}$=$\mu x^{\mu -1}$
  • 其中用到了$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$替换

对数函数的导数推导

• $f(x)={\log }_{a}x$,$(a>0,a\ne 1)$的导函数

• 方法1:

  • $f^{\prime }(x)$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\log }_a(\frac{x+h}{x})$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\log }_a(1+\frac{h}{x})$=${\log }_a\underset{h\to 0}{\lim }(1+\frac{1}{x}h{)}^{\frac{1}{h}}$

    • 应用了连续复合函数极限运算法则

  • 令$u=\varphi (h)=(1+\frac{1}{x}h{)}^{\frac{1}{h}}$,则$u_0$=$\underset{h\to 0}{\lim }\varphi (h)$=$e^{\frac{1}{x}}$

    • 该极限是$1^{\infty }$类型;由第二重要极限的推广公式得到:$A=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{x}\frac{1}{h}$=$\frac{1}{x}$,即$\underset{h\to 0}{\lim }\varphi (h)=e^A=e^{\frac{1}{x}}$

  • $f^{\prime }(x)$=${\log }_a{e}^{\frac{1}{x}}$,根据换底公式得到${\log }_a{e}^{\frac{1}{x}}=\frac{\ln e^{\frac{1}{x}}}{\ln a}$=$\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}$

• 方法2:$f^{\prime }(x)$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\log }_a(1+\frac{h}{x})$=$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\frac{x}{h}{\log }_a(1+\frac{h}{x})$=$\frac{1}{x}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}$

  • =$\frac{1}{x}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{\ln a}\frac{h}{x}}{\frac{h}{x}}$=$\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}$

切线方程和法线方程

• 根据导数的几何意义和直线的点斜式方程,可知曲线$y=f(x)$在$M(x_0,y_0)$处的切线方程为$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
• 过切点$M(x_0,y_0)$且域切线垂直的直线叫做曲线$y=f(x)$在点$M$处的法线,若$f^{\prime }(x_0)\ne 0$,
  • 法线的斜率为$-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$
  • 法线方程为$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$

例

• $y=\frac{1}{x}$在点$(\frac{1}{2},2)$处的切线,法线方程
  • 切线斜率为$k_1=y^{\prime }{|}_{x=\frac{1}{2}}$=$-\frac{1}{x^2}{|}_{x=\frac{1}{2}}$=$-4$
  • 切线方程:$y-2=-4(x-\frac{1}{2})$,即$4x+y-4=0$
  • 法线斜率$k_2=\frac{1}{4}$
  • 法线方程:$y-2=\frac{1}{4}(x-\frac{1}{2})$;即$2x-8y+15=0$

例

• 求曲线$y=x^{\frac{3}{2}}$的通过$Q(0,-4)$的切线方程

方法1

• 设切点$P(x_0,y_0)$,则切线的斜率为$f^{\prime }(x_0)$=$\frac{3}{2}\sqrt{x}{|}_{x=x_0}$=$\frac{3}{2}\sqrt{x_0}$
• 所求切线方程可设为$y-y_0=\frac{3}{2}\sqrt{x_0}(x-x_0)$
• 由$Q$在切线上有方程$-4-y_0=\frac{3}{2}\sqrt{x_0}(0-x_0)$
• 由$P$在曲线$y$上有$y_0=x_0^{\frac{3}{2}}$
• 解得$x_0=4$,$y_0=8$,所以切线方程为$3x-y-4=0$

方法2

• 设曲线$y$上点$P(x_0,x_0^{\frac{3}{2}})$为切点
• 则该处切线斜率为$k=f^{\prime }(x_0)=\frac{3}{2}\sqrt{x}{|}_{x=x_0}$=$\frac{3}{2}\sqrt{x_0}$
• 又$P,Q$所在直线的斜率为,$k=\frac{x_0^{\frac{3}{2}}-(-4)}{x_0-0}$
• 从而有方程$\frac{3}{2}\sqrt{x_0}$=$\frac{x_0^{\frac{3}{2}}+4}{x_0}$
• 解得$x_0=4$,$y_0=4^{\frac{3}{2}}=2^3=8$
• 方程为$3x-y-4=0$

函数的可导性和连续性的关系

• 若函数$y=f(x)$在$x$处可导,则函数在该点处必连续
• 反之则不成立
  • 例如$y=f(x)=\sqrt[3]{x}$,其在$(-\infty ,+\infty )$连续,但在$x=0$处却不可导,因为$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}$=$\underset{h\to 0}{\lim }1/h^{\frac{2}{3}}$=$+\infty$,即不可导,即$y=\sqrt[3]{x}$在$(0,0)$处有垂直于$x$轴的切线$x=0$
• 连续是可导的必要不充分条件

证明

• 设函数$y=f(x)$在点$x$处可导,即$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$f^{\prime }(x)$存在,并由极限和无穷小的关系可知$\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$f^{\prime }(x)+\alpha$(1)(其中$\alpha \to 0(\Delta x\to 0)$)

• 将式(1)变形(两边同时乘以$\Delta x$)得$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+\alpha \Delta x$

• 从而$\Delta y\to 0(\Delta x\to 0)$,因此$y=f(x)$在点$x$处连续