AM@微分及其应用

文章目录

• • abstract
  • 引言
  • • 线性函数近似代替原则
  • 微分定义
  • 函数可微的条件
  • • 可微便可导
    • 可导便可微
    • 主部和线性主部
    • 微分替换增量
  • 微分运算
  • • 函数微分
    • • 例
    • 自变量的微分
  • 微分的统一记法
  • • 导数的微商表示法👺
  • 微分的几何意义
  • 导数公式与微分公式
  • • 函数四则运算式的微分法则
    • 复合函数微分法则
    • 微分形式不变性
  • 微分在近似计算中的应用
  • • 函数的近似计算
    • 微分估算小结
    • 直接估算vs微分估算
    • • 例
      • 例

abstract

• 微分的概念及其和导数的关系
• 微分运算
• 微分估算应用
  • 微分的直观用途是利用导数来逼近函数(在某点的函数值)
  • 某些函数的导数比原函数要容易计算,因此可以考虑微分作估计

引言

• 设正方形边长为$x$,其从$x_0$变化为$x_0+\Delta x$,则其面积改变量$\Delta A$=$(x_0+\Delta x{)}^2-x_0^2$=$2x_0\Delta x+(\Delta x{)}^2$
• $\Delta A$式以$\Delta x$为变量,表达式分为两部分:$P_1=2x_0\Delta x$,$P_2=(\Delta x{)}^2$
• 显然$P_2$是$P_1$的高阶无穷小:$P_2=o(P_1)$
• 这表明若$\Delta x$很小,那么$\Delta A$可以近似的用(低阶的)$P_1$代替

线性函数近似代替原则

• 一般地,若函数$y=f(x)$满足一定条件,则增量$\Delta y$可以表示为$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$
  • 其中$A$是常数(不依赖于$\Delta x$)
  • 则$P_1=A\Delta x$是$\Delta x$的线性函数,且$\Delta y$与$P_1$的差$\Delta y-P_1=o(\Delta x)$是一个比$P_1$高阶的无穷小
  • 当$\Delta x\ne 0$,且$|\Delta x|$很小,则可以用$P_1$来近似代替$\Delta y$
• 当$A\ne 0$,有$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{P_1}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{A\Delta x+o(\Delta x)}{A\Delta x}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(1+\frac{1}{A}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x})$=$1+0$=1,即$\Delta y$和$P_1$是$(\Delta x\to 0)$时的等价无穷小(p1)

微分定义

• 设函数$y=f(x)$在某个区间内有定义,$x_0,x_0+\Delta x$都在区间内,若函数增量$\Delta y$=$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$可以表示为$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$(1)
  • 其中$A$是常数,则称$y=f(x)$在点$x_0$是可微的
  • $A\Delta x$叫做函数$y=f(x)$在点$x_0$相应于自变量增量$\Delta x$的微分,记为$\mathrm{d}y$,即$\mathrm{d}y=A\Delta x$
• 下面说明函数$f(x)$在$x$处的微分就是导数和自变量增量的乘积($A=f^{\prime }(x)$)

函数可微的条件

• $f(x)$在$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在$x_0$处可导,且$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\Delta x$

可微便可导

• 设$y=f(x_0)$在点$x_0$处可微,则(1)式成立,对其两边同时除以$\Delta x$:$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$(1-1)
• 当$\Delta x\to 0$时,(式(1-1)两边求$\Delta x\to x$的极限)得到$A=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$(1-3)
• 因此,若$f(x)$在$x_0$处可微,则$f(x)$在$x_0$处一定可导,且$A=f^{\prime }(x_0)$(1-4)

可导便可微

• 若$f(x)$在$x_0$处可导,则(1-3)成立,再根据极限和无穷小的关系,得$\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$f^{\prime }(x_0)+\alpha$(1-5),其中$\alpha \to 0(\Delta x\to 0)$
  • 对(1-5)两边乘以$\Delta x$,得$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x$(1-6)
    • 由无穷小性质:其中$\alpha \Delta x=o(\Delta x)$
  • 因此(1-6)式相当于(1)式,即满足可微条件
  • 所以若$f(x)$在$x_0$处可导,也一定可微

主部和线性主部

• 当$f^{\prime }(x_0)\ne 0$时,$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\mathrm{d}y}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{f^{\prime }(x_0)\Delta x}$=$\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}{f}^{\prime }(x_0)$=11-7),也可以参考(p1)的推导方法
• 式(1-7)表明,$\Delta y$和$\mathrm{d}y$式等价无穷小,从而有$\Delta y=\mathrm{d}y+o(\mathrm{d}y)$(1-8),即$\mathrm{d}y$是$\Delta y$的主部
• 由于$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\Delta x$是$\Delta x$的线性函数,在$f^{\prime }(x_0)\ne 0$时,称$\mathrm{d}y$是$\Delta y$的线性主部($\Delta x\to 0$)

微分替换增量

• 在$f^{\prime }(x_0)\ne 0$的条件下,以微分$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\Delta x$近似代替增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$时,其误差为$\delta =o(\mathrm{d}y)$
• 在$|\Delta x|$很小时$\Delta y\approx \mathrm{d}y$

微分运算

函数微分

• 函数$y=f(x)$在任意点$x$的微分称为函数的微分;函数微分是一种运算,其公式为$\mathrm{d}y$=$\mathrm{d}f(x)$=$f^{\prime }(x)\Delta x$

  • 函数的微分和$x,\Delta x$有关
  • 在有需要的时候$x,\Delta x$各自取具体的一个值($\Delta x$通常接近0)
    • 此时可以表示为$\mathrm{d}y{|}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ \Delta x=\delta \end{array}}$=$y^{\prime }{|}_{x=x_0}\Delta x{|}_{\Delta x=\delta }$
  • 微分运算的结果是一个被微分函数的导数$f^{\prime }(x)$乘以函数自变量$x$的增量$\Delta x$

• 函数某点$x_0$处的微分:$\mathrm{d}y{|}_{x=x_0}$=$f^{\prime }(x_0)\Delta x$

• 微分运算本质上就是求导运算

例

• 求$y=f(x)=x^2$的函数微分以及在$x=3$处的微分

  • $\mathrm{d}y$=$f^{\prime }(x)\Delta x$=$2x\Delta x$
  • $\mathrm{d}y{|}_{x=3}$=$f^{\prime }(3)\Delta x$=$6\Delta x$

• 求$y=x^3$当$x=2,\Delta x=0.02$时的微分

  • $\mathrm{d}y=y^{\prime }{|}_{x=2}\Delta x$=$2\times 2^2\times 0.02=0.24$

自变量的微分

• 自变量的微分就是指$\Delta x$,也记为$\mathrm{d}x$,即$\mathrm{d}x=\Delta x$
  • 事实上,$\mathrm{d}x$=$1\times \Delta x$,和$\mathrm{d}x=\Delta x$是相对应的

微分的统一记法

• 引入自变量微分后,函数$y=f(x)$的微分可以表示为$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$=$y_x^{\prime }\mathrm{d}x$(2)

导数的微商表示法👺

• 由式(2)得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x)$,这就说,可见导数可以表示为分式,即"商"的形式,因此导数也称为微商

微分的几何意义

• 对于可微函数$y=f(x)$而言,当$\Delta y$是曲线$y=f(x)$上的点的纵坐标的增量时,$\mathrm{d}y$就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.
• 当$\Delta x$很小时，函数值增量近似误差$|\Delta y-\mathrm{d}y|$=$|o(\Delta x)|$比$|\Delta x|$小得多
• 因此在点M的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.
• 在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数,在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段,这在数学上称为非线性函数的局部线性化,这是微分学的基本思想方法之一

导数公式与微分公式

• 由$\mathrm{d}f(x)$=$f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$;求某个函数的微分,就是求该函数的导数,再乘以该函数自变量微分
• 另一方面,注意公式的逆用,$f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$=$\mathrm{d}f(x)$;$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}f(x)$;$y^{\prime }\mathrm{d}x=\mathrm{d}y$

函数四则运算式的微分法则

• $\mathrm{d}(u\pm v{)}^{\prime }=\mathrm{d}u\pm \mathrm{d}v$
• $\mathrm{d}(Cu)=C\mathrm{d}u$
• $\mathrm{d}(uv)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v$
• $\mathrm{d}(\frac{u}{v})$=$\frac{v\mathrm{d}u-u\mathrm{d}v}{v^2}$,$(v\ne 0)$

复合函数微分法则

• 复合函数求导法则:$y=f(u)$,$u=g(x)$,复合而成的函数$y=f(g(x))$的函数对$x$求公式为$y_x^{\prime }=f_u^{\prime }(u)g_x^{\prime }(x)$,简记为$y^{\prime }=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$或$y^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$
• 则微分法则为$\mathrm{d}y$=$y_x^{\prime }\mathrm{d}x$=$f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$(3)
• 考虑到$\mathrm{d}u=\mathrm{d}g(x)=g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$,$y_u^{\prime }$=$f^{\prime }(u)$,所以公式(3)也可以作$\mathrm{d}y$=$f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$或$\mathrm{d}y=y_u^{\prime }\mathrm{d}u$(3-1)

微分形式不变性

• 从微分公式(2)和复合函数微分法则公式(3-1)可以看出,无论$u$是自变量还是中间变量,微分形似$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$保持不变,这成为微分形式不变性

微分在近似计算中的应用

函数的近似计算

• 若函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f^{\prime }(x_0)\ne 0$,且$|\Delta x|$很小,我们有$\Delta y\approx \mathrm{d}y$=$f^{\prime }(x_0)\Delta x$(1)
• 又由$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$,则将式(1)变形为$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$(1-1)
  • 为式公式更加易于应用,我们需要将其变形为公式左端为$f(x)$的形式
  • 这里采用换元法:令$x=x_0+\Delta x$,则$\Delta x=x-x_0$;代入(1-1)得$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$(1-2)
• 事实上(1-1)和(1-2)等式右端都可以用函数的微分表示为$f(x_0)+\mathrm{d}y$
• 这种近似计算的使之是用$x$的线性函数$(1-2)$来近似表达函数$f(x)$
• 从导数的几何意义可知,就似乎用曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线来近似代替该曲线(切点临近部分区间)
• 式(1-2)进一步变形为$f(x)-f(x_0)\approx f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$(1-3)这个式子的$\approx$号改为等号,则得到经过点$(x_0,f(x_0))$的直线的点斜式方程$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

微分估算小结

• 若$f^{\prime }(x_0)$,$|\Delta x|$很小($x,x_0$接近),那么可以
  • 用(1)估算$\Delta y$
  • 若$f(x_0)$也容易计算,则可以
    • 用(1-1)估算$f(x_0+\Delta x)$
    • 用(1-2)进估计函数$f(x)$的取值

直接估算vs微分估算

• 事实上,若$x,x_0$在$f(x)$的同一个连续区间内,则$\Delta x|=x-x_0$足够接近时,$f(x),f(x_0)$就足够接近,因为连续函数满足$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$
• 而使用微分的性质(公式(1-2)),可以提高估算精度(在相同的$\Delta x$下)
  • 直接估算法:$A_1=f(x_0)$估算$f(x_0+\Delta x)$
  • 微分法估算:$A_2=f(x_0)+\mathrm{d}y$=$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$估算$f(x_0+\Delta x)$
  • 可以看到$A_2$将$\Delta x$考虑进去,但是$A_1$并没有将$\Delta x$考虑进去

例

• 是半径为1的球镀层厚度为0.01单位长度的涂料,估算需要使用的涂料体积
• $V=\frac{4}{3}\pi R^3$,球体的体积是以半径$R$为自变量的函数
• 涂料涂抹后半径从$R_0=1$增加了$\Delta R=\mathrm{d}R=0.01$
• 涂层体积为$\Delta V=V(R_0+\Delta x)-V(R_0)$;由于$|\Delta R|$相对于$|R_0|$很小,可以考虑用微分估算法
• $\Delta V\approx \mathrm{d}V{|}_{R_0=1,\mathrm{d}R=0.01}$=$V^{\prime }{|}_{R_0=1}\mathrm{d}R$=$4\pi {R_0}^2\mathrm{d}R$=$4\times \pi \times 1^2\times 0.01$=$0.04\pi$

例

• $\sin (33^{°})$的近似值

  • $x=x_0+\Delta x$;$x_0=30°=\frac{\pi }{6}$;$\Delta x=3°=\frac{\pi }{60}$
  • $\sin (\frac{\pi }{3})$和${\sin }^{\prime }(\frac{\pi }{6})$都容易求
  • $\sin (\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{60})$ $\approx$ $\sin (\frac{\pi }{6})$+${\sin }^{\prime }(\frac{\pi }{6})\cdot \frac{\pi }{60}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\pi }{60}$$\approx 0.545$