绝对值@绝对值不等式@三角不等式

文章目录

• • abstract
  • 绝对值的定义
  • 基本的绝对值性质
  • • 绝对值的几何含义
    • 恒等式
    • 不等式
  • 去绝对值
  • • 分类讨论去绝对值
    • 等式两边去绝对值
    • 偶次方幂去绝对值
  • 绝对值不等式的基本求解思想
  • 基础类型绝对值不等式👺
  • 绝对值的三角不等式
  • • 定理1
    • 定理2
    • 推论
    • • 推论1
      • 推论2
      • 推论3
  • 绝对值不等式链小结👺
  • • 例
  • 一次双绝对值不等式

abstract

• 绝对值可以使许多描述变得简洁,许多数学概念的定义和定理都用绝对值来简化描述,本文讨论
  • 绝对值的性质
  • 绝对值的几何解释
  • 去绝对值的基本思想方法
  • 绝对值不等式
    • 简单基础性不等式
    • 双绝对值不等式
    • 三角不等式

绝对值的定义

• 在数学中，实数$a$的绝对值或模，记号为$|a|$，是指去掉$a$的符号所得的非负值。

• 数$a$的绝对值$|a|$可看作该数和零之间的距离。
  $$|x|=\{\begin{array}{ll}x& x>0\\ 0& x=0\\ -x& x<0\end{array}$$

基本的绝对值性质

绝对值的几何含义

• $|x|$表示数轴上的坐标为$x$的点到原点$O(0)$的距离,是一个非负数

恒等式

• $|ax|=|a||x|$

• $|a-b|=|b-a|$;

• Note:两数(式)差的绝对值表达式$|a-b|=|b-a|$可以表示

  • $P(a-b)$(或$Q(b-a)$)这个位置到原点(0,0)的距离,
  • 也可以表示$A(a),B(b)$之间的距离
    • 不妨设$x$轴(原点为$O(0)$)上有两点$A(a)$,$B(b)$
    • 将轴$x$平移,得到原点位置$O^{\prime }(0)$和原轴的$A(a)$重合,此时坐标轴称为$x^{\prime }$轴
    • 根据坐标平移公式,$A,B$分别对应于$x^{\prime }$轴上的坐标$A^{\prime }(0),B^{\prime }(b-a)$,而$C(a-b)$是$B$关于原点的对称点,其距离原点的距离和$B^{\prime }$是一样的
    • $|AB|=|A^{\prime }{B}^{\prime }|$=$|b-a|$=$|a-b|$

不等式

• $\forall x\in \mathbb{R}$,$x⩽|x|$,且$-x⩽|x|$,或表示为$|x|=\max \{-x,x\}$
• 这是绝对值的定义决定的

去绝对值

分类讨论去绝对值

• $$|f(x)|=\{\begin{array}{ll}f(x)& f(x)>0\\ 0& f(x)=0\\ -f(x)& f(x)<0\end{array}$$

• 将$|x|$替换成$|f(x)|$也是类似的

等式两边去绝对值

• 若$|a|=|b|$且$ab>0$则$a=b$
  • 由$|a|=|b|$可知,$a=b$异或$a=-b$(仅成立且仅会成立其中的一个)
  • 若$a=-b$,则$ab=-b^2$;因为$ab>0$,所以$a,b\ne 0$,所以$ab=-b^2<0$,和$ab>0$矛盾
  • 所以$a=b$

偶次方幂去绝对值

• 若$n$为偶数,则$|a{|}^n$=$a^n$,例如$|x{|}^2=x^2$

绝对值不等式的基本求解思想

• 用适当的方法确定若干个值来划分区间
• 在各个区间内进行去绝对值操作,使得各区间内解析式形式一致而且没有绝对值符号

基础类型绝对值不等式👺

• 设$x,a\in \mathbb{R}$,$d=|x-a|=|a-x|$表示数轴上的"点$x$与$a$之间的距离"

  • 特别的$a=0$,此时$|x-0|=|x|$表示数轴上$x$到原点的距离

• 一般的,由绝对值的几何含义和数轴,容易得到和验证:

  • $a>0$,则
    • $|x|⩽a$的解集为$x\in [-a,a]$
    • $|x|⩾a$的解集为$(-\infty ,-a]\cup [a,+\infty ]$
  • $a<0$,则
    • $|x|⩽a$的解集为$\varnothing$
    • $|x|⩾a$的解集为$\mathbb{R}$

• 以$a>0$情形为例,用数轴证明

  • $|x|⩽a$表示数轴上距离原点距离小等于$a$的所有点的集合,即$[-a,a]$
    • 反之,若$a\in [-a,a]$,那么可以抽象为$|a|⩽a$
  • $|x|⩾a$表示数轴上与原点距离大等于$a$的所有点集合,即$(-\infty ,a]\cup [a,+\infty )$
    • 反之,也可以将$(-\infty ,a]\cup [a,+\infty )$抽象为$|x|⩾a$

• 同样是$a>0$的情形,以取绝对值构成不等式组证明

  • $|x|⩽a$
    • $|x|=x,x⩾0$;$|x|=-x,x<0$
    • $|x|⩽a$表示为
      • $|x|=x⩽a,x⩾0$,解得$0⩽x⩽a$
      • $|x|=-x⩽a,x<0$,解得$-a⩽x<0$
      • 将上述两部分解集合并,得$-a⩽x⩽a$,即$[-a,a]$
  • $|x|⩾a$
    • $|x|=x⩾a,x⩾0$,解得$x⩾a$
    • $|x|=-x⩾a,x<0$,解得$x⩽-a$
    • 将上述两部分解集合并,得$(-\infty ,a]\cup [a,+\infty )$

• Note:这里的$x$可以是任意表达式而不一定只是一个变量,例如:$|f(x)|$

绝对值的三角不等式

定理1

• :若$a,b\in \mathbb{R}$,则$|a+b|⩽|a|+|b|$,当且仅当$ab⩾0$时等号成立

• 证明:$|a+b|⩽|a|+|b|$ $\iff$ $|a+b{|}^2⩽(|a|+|b|{)}^2$

  • $\iff (a+b{)}^2⩽(|a|+|b|{)}^2$
  • $\iff$ $a^2+2ab+b^2⩽|a{|}^2+2|a||b|+|b{|}^2$
  • $\iff$ $ab⩽|a||b|$
  • $\iff$ $ab⩽|ab|$
  • 显然最后一个不等式成立,定理成立

• 方法2:可以分类讨论

  1. $a,b⩽0$,$|a+b|=-(a+b)=-a-b=|a|+|b|$
  2. $a⩾0,b⩽0$,$|a+b|⩽\max (|a|,|b|)⩽|a|+|b|$
  3. $a⩽,b⩾0$,$|a+b|⩽\max (|a|,|b|)⩽|a|+|b|$(与(2)相同的推理)
  4. $a,b⩾0$,$|a+b|=a+b=|a|+|b|$
  5. 综上,定理成立

• 方法3:几何说明

  • 当$ab>0$时,$a,b$落在原点0的同一侧,此时$a,-b$异侧,且$a,-b$的距离$d(a,-b)=|a-(-b)|=|-b-a|=|a+b|=|a|+|b|$

  • 当$ab<0$时,$a,b$分别落在原点两侧,$a,-b$则位于原点的同侧,$d(a,-b)=|a+b|<\max (|a|,|b|)<|a|+|b|$,即$|a+b|<|a|+|b|$

定理2

• 设$a,b,c\in \mathbb{R}$,则$|a-c|⩽|a-b|+|b-c|$;当且仅当$(a-b)(b-c)⩾0$等号成立($b$落在$a,c$之间)
• 证明:
  • 令$f=a-c,f_1=a-b,f_2=b-c$,则$f=f_1+f_2$,由定理1,$|f|⩽|f_1|+|f_2|$,当且仅当$f_1{f}_2⩾0$等号成立,即定理2成立

推论

• 定理1的推论

推论1

• $|a-b|⩽|a|+|b|$
  • $|a-b|⩽|a|+|b|$ $\iff$ $|a+(-b)|⩽|a|+|-b|$
  • 由定理2,$|a+(-b)|⩽|a|+|-b|$显然成立,即$|a-b|⩽|a|+|b|$成立
• 将定理2与推论1并起来写:$|a\pm b|⩽|a|+|b|$👺

推论2

• $|a|-|b|⩽|a+b|$
• $|b|-|a|⩽|a+b|$
• 证明:
  • $|a|=|a+b-b|⩽|a+b|+|-b|=|a+b|+|b|$,所以$|a|-|b|⩽|a+b|$
  • 第二条类似的证明即可:$|b|=|b+a-a|⩽|a+b|+|a|$,所以$|b|-|a|⩽|a+b|$

推论3

• $||a|-|b||⩽|a+b|$
  • 证明:由推论2,$|b|-|a|⩽|a+b|$,即$|a|-|b|⩾-|a+b|$,即$-|a+b|⩽|a|-|b|$
  • 因此有推论2有:$-|a+b|⩽|a|-|b|⩽|a+b|$,即$||a|-|b||⩽|a+b|$
• $||a|-|b||⩽|a-b|$
  • 用$b$代替$-b$代入$||a|-|b||⩽|a+b|$,则$||a|-|-b||⩽|a-b|$,所以$||a|-|b||⩽|a-b|$
  • 或者直接改写不等式:$||a|-|b||⩽|a+b|$为$||a|-|-b||⩽|a-(-b)|$,所以$||a|-|b||⩽|a-b|$
• 综上,推论3可以写作$||a|-|b||⩽|a\pm b|$👺

绝对值不等式链小结👺

• $||a|-|b||⩽|a\pm b|⩽|a|+|b|$

例

• 若实数$a,b,c$满足:$|a-b|>c$,则$|x-a|+|x-b|>c$的解集?

• 解:由绝对值不等式链可知,$|x-a|+|x-b|⩾|(x-a)-(x-b)|=|b-a|=|a-b|$,而$|a-b|>c$,所以$|x-a|+|x-b|>c$的解集是实数集$\mathbb{R}$

一次双绝对值不等式

• 另见:一次双绝对值不等式