EM@不等式的基本性质

文章目录

• • abstract
  • 三种基本大小关系
  • 对称性和传递性
  • 加减性质
  • • 推论:同向不等式相加仍然同向
  • 乘除性质
  • 同号乘法相关性质
  • • 同向对应乘
    • 幂不等式
    • • 正整数幂
      • 倒数(负1次幂)
      • 负数的正整数幂
      • 正数的负整数幂
      • 负数的负整数幂
      • 分数幂(主n次方根)
    • 例
  • 应用
  • • 分类讨论
  • 常用的比较大小的方法
  • • refs

abstract

• 不等式的基本性质

• 这些不等式是解不等式和证明不等式的基础和出发点

三种基本大小关系

• $a>b$ $\iff$ $a-b>0$
• $a=b$ $\iff$ $a-b=0$
• $a<b$ $\iff$ $a-b<0$
• 上述每种大小关系都有等价的两数(式)差与0的大小关系,简称差形式
• $⩽,⩾$属于衍生关系,性质分别和$<,>$一致

对称性和传递性

1. 对称:$a>b$ $\iff$ $b<a$

2. 传递:$a>b,b>c\Rightarrow a>c$

加减性质

• 加(减):$a>b\Rightarrow a\pm c>b\pm c$

推论:同向不等式相加仍然同向

• $a>b;c>d\Rightarrow a+c>b+d$
  • 证明:令$c=d+\delta ;\delta >0$
    • $a+c=a+(d+\delta )>a+d>b+d$
    • 两个同向不等式相加,所得不等式和原不等式同向)
  • 几何法:$ab$表示矩形1的面积,$cd$表示矩形2的面积,显然矩形2的面积大

乘除性质

• $a>b;c>0\Rightarrow ac>bc$;$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$(1)

• $a>b;c<0\Rightarrow ac<bc$;$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$(2)

• 这两条性质可以构造差形式表达式来证明

  • (1):由于$a>b$,所以$a-b>0$,又因为$c>0$,所以$ac-bc=(a-b)c>0$所以$ac>bc$
    • $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}>0$,所以$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$
  • $(2)$:由于$a>b$,所以$a-b>0$,又因为$c<0$,所以$ac-bc=(a-b)c<0$所以$ac<bc$
    • $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}<0$,所以$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$

同号乘法相关性质

• 以下主要对$a>b>0$的情况进行讨论
• 对于$a<b<0$的情况，可以通过$-a>-b>0$将问题转换为上一种情况

同向对应乘

• 若$a>b>0$,$c>d>0$,则$ac>bd>0$
  • 证明:令$c=d+\delta ,\delta >0$则$ac=a(d+\delta )=ad+a\delta >ad$,结论得证
  • 不妨将$ac>bd$称为$a>b;c>d$的同向对应乘不等式
  • 该结论表明两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得的不等式和原不等式同向)

幂不等式

正整数幂

• $a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$,$n\in {\mathbb{N}}^{+}$
  • 方法0:根据推论(1),不妨将$a>b$与$a>b$的同向对应乘不等式为$a^2>b^2$,类似的,对$a>b$作其自身的同向对应乘$n$次,即可得到$a^n>b^n,n\in {\mathbb{N}}^{+},n>1$;而$a^1>b^1$显然成立,所以结论可以作$a^n>b^n,n\in {\mathbb{N}}^{+}$
  • 方法1:用乘方的性质以及作商构造证明,由$a>b>0$有,$\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b}{)}^n$>$1^n$=1,$(n\in {\mathbb{N}}^{+})$
  • 方法2:利用二项式定理,令$a=b+\delta$,$b,\delta >0$,$a^n=(b+\delta {)}^n$=${\sum }_{i=0}^n{b}^i{\delta }^{n-i}$=${\delta }^n+\cdots +b^n$>$b^n$,所以$a^n>b^n$,$(n\in {\mathbb{N}}^{+})$
  • 方法3:等幂和差公式:$a^n-b^n=(a-b){\sum }_{r_1+r_2=n-1}{a}^{r_1}{b}^{r_2}$>0,$(n\in {\mathbb{N}}^{+})$

倒数(负1次幂)

• 倒数($-1$次幂):$ab>0$,$a<b$ $\Rightarrow$ $a^{-1}>b^{-1}$
  • 方法1:构造比较式:$y=a^{-1}-b^{-1}=\frac{b-a}{ab}$,$(ab>0)$,因为$a<b$,所以$b-a>0$,所以$y>0$,即$a^{-1}>b^{-1}$
  • 方法2:可以参考$y=\frac{1}{x}$的单调性(在$(-\infty ,0),(0,+\infty )$内都是单调递减的)
  • 总结:同号的两个数取倒数后不等关系取反
  • 例如,$-3<-2<0$,$-\frac{1}{3}>-\frac{1}{2}$

负数的正整数幂

• 若$a<b<0$,则$a^n,b^n$,$n\in {\mathbb{N}}^{+}$的大小关系:

  • 由$a<b<0$可知,$-a>-b>0$,再由不等式的正整数幂性质,$(-a{)}^n>(-b{)}^n$
    • 若$n$是偶数,则$a^n>b^n$
    • 若$n$是奇数,则$-a^n>-b^n$,即$a^n<b^n$

• 例

  • 例:$-3<-2<0$,则$(-3{)}^2>(-2{)}^2$,$(-3{)}^3<(-2{)}^3$,

  • 例:$x<-\sqrt{a}<0$,则$-x>\sqrt{a}>0$即$x^2>a$;这一变形将原不等式中的根号消去了

    • 则个过程体现的是$x<-\sqrt{a}<0$ $\Rightarrow$ $x^2>a$,逆命题不成立

    • 原不等式的解集是$x<-\sqrt{a}$,而消去根号后的不等式解集增加了,还包括$x>\sqrt{a}$

正数的负整数幂

• 若$0<a<b$,则$a^{-n}>b^{-n}>0$,$n\in {\mathbb{N}}_{+}$
  • 由$0<a<b$可知,$a^{-1}>b^{-1}>0$,所以,$a^{-n}>b^{-n}>0$
• 例如,$2<3$,$2^{-2}>3^{-2}$(即$\frac{1}{4}>\frac{1}{9}$)

负数的负整数幂

• 若$a<b<0$,则$(-a{)}^{-n}>(-b{)}^{-n}>0$,$n\in {\mathbb{N}}_{+}$
  • 易知$-a>-b>0$,即$(-a{)}^{-n}>(-b{)}^{-n}>0$
    • 若$n$是偶数,则$a^{-n}>b^{-n}$
    • 若$n$是奇数,则$-a^{-n}>-b^{-n}$,即$a^{-n}<b^{-n}$
  • 例:$-3<-2$,$(2{)}^{-2}>(3{)}^{-2}$;$(-2{)}^{-3}<(-3{)}^{-3}$

分数幂(主n次方根)

• $a>b>0$ $\Rightarrow$ $\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$,$n\in {\mathbb{N}}^{+}$
  • 方法1：构造$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$>$\sqrt[n]{1}$=1,所以$\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$,$n\in {\mathbb{N}}^{+}$
  • 方法2:(反证法)设$\sqrt[n]{a}⩽\sqrt[n]{b}$，则$(\sqrt[n]{a}{)}^n⩽(\sqrt[n]{b}{)}^n$,即$a⩽b$和$a>b$矛盾，所以$\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$

例

• 设$a,b>0$,$x<-\sqrt{\frac{b}{a}}<0$,求$y=a-b{x}^{-2}$和0的大小关系

  • $y$中包含了负指数,考虑先判断$x^{-2}$的大小;

  • 由$x<-\sqrt{\frac{b}{a}}<0$得$-x>\sqrt{\frac{b}{a}}>0$(转换到正数范围更便于讨论)

  • 由正数范围内不等式负整数次方性质:$(-x{)}^{-2}<(\sqrt{\frac{b}{a}}{)}^{-2}$化简即$x^{-2}<(\frac{b}{a}{)}^{-1}=\frac{a}{b}$

  • 对上面的不等式两边乘以$-b<0$,得$-b{x}^{-2}>-a$,再在两边加上$a$,得$a-b{x}^{-2}>0$

  • 即$y>0$

应用

分类讨论

• 例:已知$ab\ne 0$,$a>b$,讨论$\frac{1}{a},\frac{1}{b}$的大小

  • 构造表达式:$y=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$,通过判断$y$与0的大小关系来判断$\frac{1}{a},\frac{1}{b}$间的大小关系

  • 通分得:$y=\frac{b-a}{ab}$,由$a>b$可知$b-a<0$,所以

    • $$\{\begin{array}{ll}y<0,& ab>0\\ y>0,& ab<0\end{array}$$

  • 所以

    • $$\{\begin{array}{ll}\frac{1}{a}<\frac{1}{b},& ab>0\\ \frac{1}{a}>\frac{1}{b},& ab<0\end{array}$$

    ​

• 例:讨论$\frac{1}{a}$,$\frac{1}{b}$的三类基本大小关系下$a,b$满足的条件

  • 如同上例介绍的那样,我们用表达式$y=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$

• 若$b-a>0$

  • $$\begin{gathered} y=\frac{b-a}{ab};b-a>0 \\ 则\{\begin{array}{l}y>0;ifab>0\\ y<0;ifab<0\end{array} \end{gathered}$$

• 若$b-a<0$

  • $$\{\begin{array}{l}y>0;ifab<0\\ y<0;ifab>0\end{array}$$

• 综上:

  • $$\begin{gathered} \frac{1}{a}>\frac{1}{b};\{\begin{array}{l}ab>0\&a<b\\ ab<0\&a>b\end{array} \\ \frac{1}{a}<\frac{1}{b};\{\begin{array}{l}ab>0\&a>b\\ ab<0\&a<b\end{array} \\ \frac{1}{a}=\frac{1}{b};a=b \end{gathered}$$

常用的比较大小的方法

• 做差法(通用)
• 作商(注意符号问题)
• 构造函数单调性,考察单调性

refs

• 初等代数/不等式 (wikibooks.org)
• 人教版高中数学@选修4-5@不等式选讲2007