math_高数公式每日一过_part2(private)

文章目录

• • 重要极限
  • • 对数函数的导数公式推导(导数定义极限法)
  • 等价无穷小
  • • 代换原则
  • 微分导数
  • • 高阶导数
  • 泰勒(maclaurin)展开
  • • 常用泰勒公式
  • 积分
  • 特值公式
  • • 凑微分
    • • 常用配凑技巧
    • 幂函数积分的一些常用特值扩充

重要极限

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin(x)}{x}=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e \end{gathered}$$

• 更有用的推广形式:

$$通常\varphi (x)\to 0和\{\begin{array}{l}x\to 0\\ x\to \infty \end{array}中的一个等价$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^{-(-x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{{(1-\frac{1}{x})}^{-x}}=\frac{\underset{x\to \infty }{\lim }1}{\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^{-x}}=\frac{1}{e} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{a}{x}{)}^{bx}=\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{\frac{x}{a}ab}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left({(1+\frac{a}{x})}^{\frac{x}{a}}\right)}^{ab}=e^{ab} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{bx+c}=\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{bx}\cdot \underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^c=e^{ab}\cdot 1^c=e^{ab}\cdot 1=e^{ab} \end{gathered}$$

• 更一般的:($对于1^{\infty }$型的极限)

  • 有时,需要使用分离常数的技巧讲函数的形式转换为$(1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}$的形式,例如:$(\frac{x+1}{x-3}{)}^x$

  • $判断指定过程的极限时1^{\infty }$型的

  • $计算A=lim(\alpha (x)\beta (x))$

  • 得到结果$\lim f(x)=e^A$

$$\begin{gathered} \lim (1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}=e^A \\ =\lim (1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}\alpha (x)\beta (x)} \\ =\lim (((1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}}{)}^{\alpha (x)\beta (x)} \\ 记A=\lim \alpha (x)\beta (x); \\ 则\lim (1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}=e^A \end{gathered}$$

$上面的1^{\infty }$型极限都可以用$e^A$法来计算

• $$\begin{gathered} A_1=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-1}{x}x=-1 \\ {A}_2=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a}{x}bx=ab \\ {A}_3=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a}{x}(bx+c)=ab \end{gathered}$$

对数函数的导数公式推导(导数定义极限法)

• $$\begin{gathered} f(x)=lo{g}_{a}x \\ {f}^{\prime }(x)=(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{lo{g}_a(x+h)-lo{g}_a(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{lo{g}_a(\frac{x+h}{x})}{h} \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}lo{g}_a(x+hx) \\ =\underset{h\to 0}{\lim }lo{g}_a(1+\frac{h}{x}{)}^{\frac{1}{h}} \\ 记g(h)=lo{g}_a(1+\frac{h}{x}{)}^{\frac{1}{h}} \\ (lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }g(h);g(h)的自变量是h(g(h)将x看作常量) \\ 第二重要极限的推广公式得到:A=\frac{h}{x}\frac{1}{h}=\frac{1}{x} \\ 所以对于u=\varphi (h)=(1+\frac{h}{x}{)}^{\frac{1}{h}}; \\ {u}_0=\underset{h\to 0}{\lim }u=e^{\frac{1}{x}} \\ 又由复合函数的极限运算法则:\underset{h\to 0}{\lim }g(h)=\underset{u\to u_0}{\lim }lo{g}_{a}u=lo{g}_a{u}_0=lo{g}_a{e}^{\frac{1}{x}} \\ 根据换底公式得到(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=lo{g}_a{e}^{\frac{1}{x}}=\frac{\ln e^{\frac{1}{x}}}{\ln a}=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a} \end{gathered}$$

等价无穷小

• math_证明常用等价无穷小&泰勒展开&案例&代换_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客_等价无穷小替换公式证明

代换原则

• 总的来说,代换之后,不可以相互抵消(产生最高阶无穷小0 )

微分导数

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}{e}^{f(x)}g(x)=e^{f(x)}(f^{\prime }(x)g(x)+g^{\prime }(x))) \\ =e^f(f^{\prime }g+g^{\prime }) \\ 特别的,当f(x)=x \\ \frac{d}{dx}{e}^{x}g(x)=e^x(g(x)+g^{\prime }(x)) \end{gathered}$$

高阶导数

$$\begin{gathered} \frac{d^n}{dx}{x}^a=a(a-1)\cdots (a-(n-1))x^{a-n} \\ =x^{(a-n)}\prod _{k=0}^{n-1}(a-k) \\ 令a=-1,可以得到\frac{1}{x}的n阶导数公式 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}{x}^a=a{x}^{a-1} \\ \frac{d^n}{d{x}^n}{x}^{-1}=(-1{)}^n\frac{n!}{x^{n+1}}=(-1{)}^{n}n!\cdot x^{-(n+1)} \\ \frac{d^n}{d{x}^n}\ln x=\frac{d^{n-1}}{d{x}^{n-1}}{x}^{-1}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}=(-1{)}^{n-1}(n-1)!\cdot x^{-n} \\ \frac{d^n}{d{x}^n}\ln (x+a)=(\ln (x+a){)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}(n-1)!(x+a{)}^{-n} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} y=\ln (x+a) \\ \begin{array}{rl}& y^{(1)}=\frac{1}{x+a}=(x+a{)}^{-1}\\ & y^{(2)}=(-1)(x+a{)}^{-2}\\ & y^{(3)}=(-1)(-2)(x+a{)}^{-3}\\ & ⋮\cdots \\ & y^{(n)}=(-1{)}^{n-1}(n-1)!(x+a{)}^n\\ & notation:p=n-1\\ & y^{(n)}=(-1{)}^{p}p!(x+a{)}^n\end{array} \end{gathered}$$

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泰勒(maclaurin)展开

• 通常的,基于通用的taylor(maclaurin)通项公式,记忆不同函数的展开通项即可

  • 考察的项数通常不会超过4项,因此k=1,2,3,4带入即可得到展开式的前几项,并且表达能力强

• $e^x$

  • $$e^x=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{x}^k+o(x^k)$$

• $sinx$

  • $$\begin{gathered} sinx=\sum _{i=0}^m\frac{sin(i\frac{\pi }{2})}{i!}{x}^i\stackrel{过滤掉值为恒为0的项,重新编号k}{=} \\ =\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2k+1})★(k\in N^{\ast }) \\ =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+o(x^{2k-1})变体(k\in N^{+}) \\ 令p=2k-1;q=2k,则: \\ sinx=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{x^p}{p!}+o(x^p) \end{gathered}$$

• $cosx$

  • $$\begin{gathered} 结合任意函数的maclaurin通项,可以看出,sin(0+k\frac{\pi }{2})的取值周期为 \\ T=[0,1,0,-1];将系数0对应的项过滤掉,得到符号周期T=[1,-1], \\ 因此,从\sum _{k=0}n的过程中,有入下规律 \end{gathered}$$

    $$\begin{gathered} cosx=\sum _{i=0}^m\frac{cos(i\frac{\pi }{2})}{i!}{x}^i\stackrel{过滤掉值为恒为0的项,重新编号k}{=}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k}) \\ 令q=2k,则:cosx=\sum _{k=1}^n(-1{)}^k\frac{x^q}{q!}+o(x^q) \end{gathered}$$

常用泰勒公式

• $$\begin{gathered} 分母是相应的幂指数的阶乘 \\ \{\begin{array}{l}sinx的展开是1,3,5,...次幂\\ cosx的展开是0,2,4,...次幂\end{array} \end{gathered}$$

• 第7个其实就是二项式定理啦

• 第八个比较麻烦,$actranx$的高阶导数不那么好求(数学归纳法)

  • 它的通项和sinx的展开式十分相似,除了分母少了一个阶乘号,几乎一样

积分

特值公式

凑微分

常用配凑技巧

$$\begin{gathered} dx=\frac{1}{a}d(ax)或者dx=a\cdot d\frac{x}{a} \\ dx=d(x\pm a)或者dx=-d(a-x) \\ sinxdx=d(-cosx)=-d(cosx) \\ cosxdx=d(sinx) \\ xdx=d(\frac{1}{2}{x}^2)=\frac{1}{2}d{x}^2 \end{gathered}$$

• $+0\iff (+a-a)=(-a+a)$
• $\times 1=\frac{a}{a}$

幂函数积分的一些常用特值扩充

• $$\begin{array}{rl}& overhead:积分升幂(特例:\frac{1}{x})\\ & \int x^{k}dx=\frac{1}{k+1}{x}^{k+1}+C=\frac{x^p}{p}+C,p=k+1\\ & \int \frac{1}{x}dx=\int x^{-1}dx=ln|x|+C\\ & \int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C\\ & \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}dx=2x^{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+C\\ & \int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}\begin{array}{rl}& overhead:求导降幂\\ & (x^k{)}^{\prime }=k{x}^{k-1}\\ & (\frac{1}{x}{)}^{\prime }=(x^{-1}{)}^{\prime }=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\\ & (\frac{1}{x^2}{)}^{\prime }=(x^{-2}{)}^{\prime }=-2x^{-3}\\ & (\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^{\prime }=(x^{-\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}\\ & (\sqrt{x}{)}^{\prime }=(x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}};(2\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}\end{array}$$

$$\int xdx=\frac{1}{2}{x}^2+c$$

$$\int tanxdx=\ln |secx|+C$$

$$\int cotxdx=-\ln |cscx|+C=\ln |sinx|+C$$