math_消除根式:椭圆的标准式方程推导&坐标系平移&整理多项式

文章目录

• • 消除根式:椭圆的标准式推导
  • • 消除根式和
    • • 以椭圆的标准方程推导过程为例
  • 坐标系平移

消除根式:椭圆的标准式推导

消除根式和

• $\sqrt{p}+\sqrt{q}=A$

以椭圆的标准方程推导过程为例

• 椭圆 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)
  • 

• $$\sqrt{p}+\sqrt{q}=A\text{\hspace{1em}(1)}$$

• 对于椭圆,其中:

  • $A=2a$

  $$p=(x+c{)}^2+y^2\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

  $$\begin{gathered} q=(x-c{)}^2+y^2 \\ \text{\hspace{1em}(1.2)} \end{gathered}$$

  $$p-q=4cx\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

  $$\begin{gathered} 对(1)两边乘以共轭式\sqrt{p}-\sqrt{q}得到:p-q=A(\sqrt{p}-\sqrt{q}) \\ \frac{p-q}{A}=\sqrt{p}-\sqrt{q} \\ 即: \end{gathered}$$

  $$\sqrt{p}-\sqrt{q}=\frac{p-q}{A}\text{\hspace{1em}(2)}$$

  $$\begin{gathered} (1)+(2) \\ 2\sqrt{p}=A+\frac{p-q}{A} \end{gathered}$$

  $$4p=(A+\frac{p-q}{A}{)}^2★\text{\hspace{1em}(3)}$$

• 式(3)不仅限于椭圆

  • 而对于椭圆,将(1.1~1.3)式带入(3)

  $$\begin{gathered} 4((x+c{)}^2+y^2)=(A+\frac{4cx}{A}{)}^2 \\ 归边化简 \\ {a}^2{x}^2+2a^{2}cx+a^2{c}^2+a^2{y}^2-a^4-2a^{2}cx-c^2{x}^2=0 \\ 消掉可以消去互为相反数的项(pair) \\ {a}^2{x}^2+a^2{c}^2+a^2{y}^2-a^4-c^2{x}^2=0 \end{gathered}$$

  • 利用表格统计的时候,缺失的项可以放空(尤其是仅有一个变量的时候)

  • $x^2$	$a^2-c^2$	$y^2$	$a^2$
    $x^1$	0	$y^1$	0
    常数队列:$a^2{c}^2-a^4$

    $$\begin{gathered} 降幂排列统计(先x幂队和再y幂队最后常数项队列) \\ ((逐项归类)(a^2-c^2)x^2+a^2{y}^2-a^4+a^2{c}^2=0;记b^2=a^2-c^2 \\ {b}^2{x}^2+a^2{y}^2+a^2(c^2-a^2)=0 \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{gathered}$$

  坐标系平移

• $设坐标系C_0上有一点p_0^0(m,n)$

• $坐标系C_1上有一点p_1^0(0,0);该点是由p_0^0经过相应的平移映射而来$

• $$\begin{gathered} 即,假设平移规则为:c_0坐标的原点移动到c_0的(m,n)位置, \\ 以该位置作为新坐标系c_1的坐标原点(0,0{)}_{c_1} \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} (m,n{)}_{c_0}\to (0,0{)}_{c_1} \\ 则(0,0{)}_{c_0}\to (-m,-n{)}_{c1} \\ 则(x,y{)}_{c_0}\to (x-m,y-n{)}_{c1} \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 记c_0坐标上的点为(x_0,y_0) \\ {c}_1坐标上点为(x_1,y_1) \\ \{\begin{array}{l}{x}_1=X(x_0)=x_0-m\\ y_1=Y(y_0)=y_0-n\end{array} \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 对于c_0上的曲线方程B_0:\frac{x_0^2}{a}+\frac{y_0^2}{b}=1 \\ 对于c_1上的曲线方程B_1:\frac{x_1^2}{a}+\frac{y_1^2}{b}=1 \\ 由上述映射关系(参数方程) \\ {B}_1在c_0上的方程为:\frac{(x_0-m{)}^2}{a}+\frac{(y_0-n{)}^2}{b}=1 \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 同理,可以得到B_0在c_1坐标系上的方程为:\frac{(x_0+m{)}^2}{a}+\frac{(y_0+n{)}^2}{b}=1 \\ 还比如,可以用容易验证的圆方程R:x_1^2+y_1^2=r^2(C_1上) \\ (x_0-m{)}^2+(y_0-n{)}^2=r^2(c_0坐标系投影到C_0上) \end{gathered}$$

  • 更一般的,有
    $$\begin{gathered} c_1坐标系(层)上的曲线B(x_1,y_1)=0 \\ 在c_0坐标系上可以这样描述B(x_0-m,y_0-n)=0 \end{gathered}$$