AM@三角级数三角函数系@傅里叶级数Fourier Series一般形式

文章目录

• • abstract
  • • 三角级数
    • 周期函数分类
    • 正弦型函数
    • 周期转换问题
    • 谐波分析
  • 傅里叶级数的一般形式
  • • 周期为$2l$的三角级数
    • • 记号说明
      • 三角级数公式(周期为一般周期$2l$)
    • 周期为$2\pi$的三角级数🎈
    • $2l$周期化为$2\pi$周期
  • 三角函数系
  • • 性质

abstract

• 三角级数@三角函数系
• 傅里叶级数的一般形式($2\pi$周期和$2l$周期)

三角级数

• 由三角函数组成的函数项级数,称三角级数

周期函数分类

• 主要分为正弦周期函数和非正弦周期函数
• 前者是简单类型的周期函数,后者可以很复杂
• 为了研究后者,人们尝试将后者分解(展开)为由简单的周期函数(例如正弦函数)组成的级数
• 例如,将周期为$T=\frac{2\pi }{\omega }$的周期函数用一系列以$T$为周期的正弦函数$A_n\sin (n\omega t+{\varphi }_n)$组成的级数来表示,记为$f(t)=A_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_n\sin (n\omega t+{\varphi }_n)$(1)
  • $A_0,A_n,{\varphi }_n(n=1,2,\cdots )$都是常数

正弦型函数

• 正弦函数是一种常见而简单的周期函数
• 例如描述动点简谐运动的函数$y=A\sin (\omega t+\varphi )$就是一个一$\frac{2\pi }{\omega }$为周期的正弦函数
  • $\omega$称为角频率
  • $t$表示时间(变量)
  • $y$表示动点位置
  • $A$表示振幅(amplitude)

周期转换问题

• 最简单的正弦型函数为$\sin x$,它的周期为$2\pi$,是周期函数中最常见的一个周期,是人们研究的重点,以$2\pi$为周期的函数属于标准型问题,非$2\pi$周期的问题可以通过变量代换转换为标准的$2\pi$周期问题
• 一般的,周期函数$f$的周期设为$T$,并常引入参数$l$,表示周期$T$的一半,即$T=2l$
  • 这时因为,周期函数通常要转换为正弦函数,而正弦函数的周期为$2\pi$,频率为$\omega =\frac{2\pi }{T}$,为了使系数$\pi$的系数化为$1$,做代换$T=2l$,从而$\omega$=$\frac{\pi }{l}$

谐波分析

• 式(1)的物理意义很明确,其表示把一个比较复杂的周期运动看作许多不同频率的简谐运动的叠加,在电工学上,这种展开称为谐波分析
• 反之:两个不同的简谐波$y_i=A_i\sin ({\omega }_{i}t+{\varphi }_i)$(2)叠加起来可以产生较复杂的周期波
• 更具体的,在一定条件下,周期函数$f$可表示为式(1)
  • $A_0$称为$f(t)$的直流分量
  • $A_1\sin (\omega t+{\varphi }_1)$称为一次谐波(也成为基波)
  • $A_i\sin (\omega t+{\varphi }_i)$则成为**$i$次谐波**

傅里叶级数的一般形式

周期为$2l$的三角级数

记号说明

• 为了便于讨论,根据三角函数展开公式变形

  • $\sin (n\omega t+{\varphi }_n)=\sin {\varphi }_n\cos (n\omega t)+\cos {\varphi }_n\sin (n\omega t)$(3)
  • 式(3)的最小正周期为$t_n=\frac{2\pi }{n\omega }$;显然$T_n=\frac{2\pi }{\omega }=n\times t_n$也是式(4)的周期.$(n=1,2,\cdots )$

• 为了改写式(1),令

  • $A_0=\frac{a_0}{2}$
  • $a_n$=$A_n\sin {\varphi }_n$,
  • $b_n$=$A_n\cos {\varphi }_n$
  • $\omega$=$\frac{\pi }{l}$,这里引入参数$l$,
    • 即$T_n=\frac{2\pi }{\pi /l}=2l$,周期就被描述成2l的形式),
    • $2\pi$是$l=\pi$,(即$\omega =1$)时的情形

三角级数公式(周期为一般周期$2l$)

• 根据上述记号约定,式(1)可改写为:$f(t)$=$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\frac{\pi }{l}t+b_n\sin n\frac{\pi }{l}t)$(5)
• 该式是关于自变量$t$的式子,称为三角级数(周期为$2l$),
  • $a_n\cos n\frac{\pi }{l}t$,$b_n\sin n\frac{\pi }{l}t$两式的周期都为$T_n$=$\frac{2\pi }{n\pi /l}$=$\frac{2l}{n}$,$n=1,2,\cdots$
  • 而式(5)的周期取决于$n=1$时的周期,即$2l$
    • 周期互异的周期函数的和函数的周期是所有周期函数的最小公倍数
    • 这里相加的周期函数都可以表示为$\frac{2l}{n}$,因此最小公倍数为$2l$
  • 其中$a_0,a_n,b_n$,$(n=1,2,\cdots )$都是常数

周期为$2\pi$的三角级数🎈

• 当式(5)的$l=\pi$时,$T=2l=2\pi$,就是周期为$2\pi$的函数的三角级数,此时式(5)改写为
  • $\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nt+b_n\sin nt)$(5-1)

$2l$周期化为$2\pi$周期

• $2\pi$为周期的函数被讨论的最多,因此我们希望将周期非$2\pi$的情形能够转换为$2\pi$的问题来研究
• 在三角级数(5)的基础上,参考式(5-1),即为了改写成$\cos nx,\sin nx$的表达式的形式(周期为$2\pi$),
• 我们做变量代换,令:$x=\frac{\pi t}{l}$(5-2),即$t$=$\frac{lx}{\pi }$,
  • 则式(5)改写成$f(t)$=$g(x)$=$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx+b_n\sin nx$(6)
  • 而定义域也要重新计算,记$f(t)$,$g(x)$的定义域分别为$D_f,D_g$,则$D_g$由$t=\frac{lx}{\pi }\in D_f$解出
  • 式(6)的周期为$2\pi$,这就把以$2l$为周期的三角级数转换为$2\pi$为周期的三角函数
• 上面的过程告诉我们,可以将周期为$2l$的三角级数$f(t)$转换为周期为$2\pi$的三角级数
• 因此我们主要讨论周期为$2\pi$的三角级数,即式(1)

三角函数系

• 三角函数系:$1,\{\sin (nx)\},\{\cos (nx)\}$,即:$1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\sin 3x,\cos 3x,\cdots ,\cos nx,\sin nx$

性质

1. $f(x)=\cos (nx)$是偶函数

• $f(-x)=\cos (n(-x))=\cos nx=f(x)$,可见,$f(x)$为偶函数

2. $g(x)=\sin (nx)$是奇函数

• $g(-x)=\sin (n(-x))=-\sin (nx)=-g(x)$,可见,$g(x)$为奇函数

3. 函数系在区间$[-\pi ,\pi ]$上正交

   • 是指该函数系中任意两个不同的函数乘积在$[-\pi ,\pi ]$上的积分为0

     • ${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\mathrm{d}x$=$\frac{1}{n}\sin nx{|}_{-\pi }^{\pi }$=$\frac{1}{n}2\sin n\pi$=$0$

     • ${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\mathrm{d}x$=$\frac{1}{n}(-\cos nx){|}_{-\pi }^{\pi }$=$-\frac{1}{n}(\cos n\pi -\cos (-n\pi ))$=$0$

     • ${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\cos nx\mathrm{d}x=0;$

       • 因为$\sin mx\cos nx$是一个奇函数,且积分区域是对称的

   • 积化和差公式计算以下积分($m\ne n,m,n=1,2,\cdots$)

     • $$\begin{gathered} {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nx\mathrm{d}x={\int }_{-\pi }^{\pi }-\frac{1}{2}(\cos (mx+nx)-\cos (mx-nx))\mathrm{d}x \\ =-\frac{1}{2}({\int }_{-\pi }^{\pi }\cos ((m+n)x)\mathrm{d}x-{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos ((m-n)x))\mathrm{d}x)=-\frac{1}{2}(0-0)=0 \end{gathered}$$

     • $$\begin{gathered} {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nx\mathrm{d}x={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}(\cos (mx+nx)+\cos (m-n)x)\mathrm{d}x \\ =\frac{1}{2}({\int }_{-\pi }^{\pi }\cos ((m+n)x)\mathrm{d}x+{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos ((m-n)x))\mathrm{d}x)=\frac{1}{2}(0+0)=0 \end{gathered}$$

4. 三角函数系中两个相同函数的乘积在区间$[-\pi ,\pi ]$上的积分不为0:

   1. ${\int }_{-\pi }^{\pi }{1}^2\mathrm{d}x$=$2\pi$
   2. ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}nx\mathrm{d}x$=${\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}(1-\cos 2nx)\mathrm{d}x$=$\pi$
   3. ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nx\mathrm{d}x$=${\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}(1+\cos 2nx)\mathrm{d}x$=$\pi$