dataStructure_图的基本概念和问题

文章目录

• 基本概念
• • • 图Graph
    • 有向图:
    • 无向图:
    • 简单图
    • 完全图(简单完全图)
    • 有向完全图
    • 子图
    • 连通
    • • 连通图
    • 极大连连通子图(连通分量)
    • 完全图和连通图问题
    • • 最多允许几条边保持不连通?
      • 多少条边就可以保证连通?
    • 生成树
    • • • 连通图的生成树
        • 非连通图的生成森林
    • 强连通(顶点对)
    • • 强连通图
      • 强连通分量
      • 至少需要n条边
    • 小结
    • 顶点的度
    • • 相关性质
    • 边的权
    • • 带全图(网)
    • 稀疏图&稠密图
    • 路径相关
    • • 顶点间路径
      • 路径长度
      • 回路(环)
      • • 有环的充分条件
    • 简单路径
    • 简单回路
    • 顶点间距离(最短路径)
    • 森林/树/图
    • 有向树
    • • 树&图

基本概念

图Graph

• 由顶点V(vertex)和边E(edge)构成,记图为G(V,E)
  • V(G)表示图G中顶点的有限非空集合
  • V={$v_1,v_2,\cdots ,v_n$}
  • |V|表示顶点集合中的顶点个数,即图G的顶点数
  • 要求|V|>0,图不可以是"空图"
  • E(G)表示图G中顶点间的边(关系)集合
    • E={$(v_i,v_j)|v_i,v_j\in V$}
    • |E|表示图G中的边数
    • $|E|⩾0$,图中允许只有点而没有边

有向图:

• 集合中的边是有向边的有限集的图
• $此时边是顶点的有序对<v_{tail},v_{head}>简记作:<v,w>;v,w\in V;v是弧尾,w是弧头$

无向图:

• 和有向图相对应,边都是无向边
• $此时边是顶点的有序对<v,w>$

简单图

• 图中不存在重复边
• 不存在顶点到自身的边
• 数据结构中讨论的是简单图

完全图(简单完全图)

• $含有\frac{n(n-1)}{2}$条边的无向图称为完全图(任意两个结点见都有直接边)
  • 对于无向图,$边数|E|的取值分为0\sim \frac{n(n-1)}{2}$
  • 这个范围在讨论优向完全图的时候解释

有向完全图

• 有向完全图中任意两个结点间都存在方向相反的两条弧
• 可以考察一个图G的任意一个点v
• 点v相关的边有两类:出边和入边
  • 显然出边有$n-1$条(图G总共有n个结点)
  • 其他结点邻接到v的边,也就是v的入边数也是$n-1$
  • 所有出边形如:$<v_i,v_j>,v_j\in DS(即V-\{v_i\})$
    • 其中$i=1,2,\cdots ,n$
    • 类似的对V中其他顶点建立所有出边,就是$i=1,2,\cdots ,n$的过程
  • 这样一来,每个结点都有n-1条出边和入边
  • 此时这个图有n(n-1)条有向边,而且是任意两个结点都有一来一往两条边
• 回到无向图,是不去分方向的,因此任意两个结点间的一来一往两条边合并为一条无向边
• 所以无向图最多有$\frac{n(n-1)}{2}$条边

子图

• $$\begin{gathered} 设图G^{\prime }=(V^{\prime },E^{\prime })和图G=(V,E)的子图,如果V^{\prime }\subseteq V并且E^{\prime }\subseteq E \\ 则G^{\prime }是G的子图 \end{gathered}$$

• $$特别的,在子图的基础上,如果子图G^{\prime }的顶点集合V^{\prime }=V,那么G^{\prime }是G的生成子图$$

连通

• 在无向图中,如果顶点v到顶点w的路径存在,那么v和w是连同的
• 注意,只要求路径存在,而不要求路径的长度为1(直达)

连通图

• 如果图G中的任意两个顶点是连同的,那么图G是连通图
• 否则为非连同图

极大连连通子图(连通分量)

• 无向图中极大连通子图称为连通分量
  • 这里的极大指的
    • 是连通子图包含尽可能多的边
  • 极小连通子图:
    • 既要保持图的连通又要使得边数最少(尽可能的少)
  • 如果在分配一个点给极大联通子图就会造成连通性被破坏,那么这样的联通子图才是极大联通子图
  • 一个图G的联通子图可以有很多,但是极大联通子图的数量就比较有限,但往往也不是唯一的
  • 而且不同的极大联通子图具有不一定相等的顶点数;这些极大联通子图都是图G的连通分量
• 如果一个包含n个顶点的图是连通图,那么这个连通图至少含有n-1条边
  • 设顶点集合$V_1,刚开始,V_1中只有一个点v_1$;图G的点分布在$V_1,V2$中
  • 现在我们往$V_1$里头加点
    • $从V_2中取出一个点v_i,加到V_1,v_i和V_1中已有点任意一点建立边的联系,这会产生一条边$
    • $继续操作下去,知道V_2中的所有点都被接入到V_1集合中,就构成了一个具有最少边的联通图$
    • $这个过程中i=1,2,\cdots ,n-1$
    • 因此,n个结点的连通图至少含有n-1条边,否则该图是不连通的!!

完全图和连通图问题

最多允许几条边保持不连通?

• 另方面,如果一个含有n个结点的图G想要避免构成连通图,那么最多允许几条边?
  • 容易联想到,n个顶点具有最多边的情况是n阶完全图(这肯定是连通图)
  • 现在考虑从n阶完全图中去掉尽可能少的边,来构成非连通图
  • 我们抓住一个点,将它与其他n-1个点的联系全部去掉,就构成了有尽可能多边的非联通图
  • 这个数值就是n-1阶完全图的边数($\frac{1}{2}(n-1)(n-2)$)

多少条边就可以保证连通?

• 如果某个无向图有n个顶点,那么至少需要多少条边,使得该图一定是一个连通图
• 这类问题也是完全图的问题
  • 考虑n-1$个结点最多消耗\frac{1}{2}(n-1)(n-2)$条边
    • 这种情况下,剩下的一个顶点将游离于前n-1个顶点,图还是可能不连通
  • 但是如果在加上一条边,由于前n-1个顶点间的边已经完全饱和,那么新增的一条边导致n个结点连通起来

生成树

连通图的生成树

• 包含图中所有顶点的极小连通子图
• 根据上面的分析,如果连通图的顶点数为n,那么它的生成树含有n-1条边(不多也不少)
  • 在生成树中,减去一条边会导致不再连通
  • 加上一条边,会导致回路的形成
• 尽管如此,同一个连通图的生成树不一定唯一
  • 例如一个环图G,去掉任何一条边即可得到G的一个生成树
• 因此有最小生成树这类算法

非连通图的生成森林

• 非连通图可以从连通分量的角度考察,它们它是由它若干的极大联通子图构成的
• 分别计算连通分量的生成树
• 这些生成树构成生成树森林

强连通(顶点对)

• 在有向图G中,如果一对顶点v,w;v到w以及w到v都有路径,则这两个顶点是强连通的(双向连通的)
  • 注意,连通和强连通一样,只要求路径存在,而不要求路径的长度为1(直达)

强连通图

• 如果有向图G中,所有顶点都是强连通的,那么G是强连通图
  • 如果我们按照定义去考察一个有向图是否为连通图,可以分别考察每个顶点是否能够到达其他所有顶点
  • 这需要$n\ast (n-1)$次比较

强连通分量

• 有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量

至少需要n条边

• 鉴于有向图的有向性,

  • 传递性:如果点v能够到达B,B能够到达集合{C}中的任意点,那么认为v可以到达{C}中的任意点(直观)

• 从$n=1$开始考虑

  • n:至少需要的条边数

  • 1:0

  • 2:2(一条边仅单向可达,必须两条)(记现在的两个顶点为a,b)

  • 3:?

    • 在n=2的规模内,要让三个点(记为c)能够到达a或者b,至少需要从c出发,邻接一条边到a/b

    • 另一方面,为了能够让a/b出发能够到达c,也至少要从a/b出发一条边邻接到c

    • 即,任意生成树中的每个结点至少有一条出边和一条入边(这是至少的下限)

    • 现在想让n个结点有尽可能少的边,可以尝试:

      • 复用边:good idea!

        • 比如三个点:A–>B–>C

        • 其中A–>C的路径就复用了B–>C的路径(BC边)

          • 这是传递性的体现;

            • 现在,AB,AC,BC,都没问题
            • 但是BA,CB,CA不可以

          • 为了让C能够到达A,必须在加一条边

          • • 现在CA,BA(B->C->A),CB(C->A->B),都可以

        • 简单讲,就是路径长度超过1的,都是有复用的成分

      • 让每个结点上的边的端点(弧头/弧尾尽可能少)

        • 仅保留必要的一组弧头/弧尾

      • 可以发现顺序闭环状结构(或者逆序闭环,总之箭头方向一致)

        • 可以实现必要的边数实现所有点互通的目的
        • 这是容易验证,因为任意顶点数为N的顺序环上的任意结点x沿着顺序环行进,可以遍历所有环内结点
          • 这意味着,从任意一个结点x(x可以取环上的任意结点,不失一般性)开始,沿着一个方向行进,总是可以到达环内任意指定的第二个结点y,包括起点本身

小结

• 在无向图中讨论连通性
• 有向图中讨论强连通性

顶点的度

• 在无向图中
  • 顶点v的度$TD(v)$:图G中依附于顶点v的边的条数
• 有向图中
  • 入度(In Degree)和出度(Out Degree)之分
    • 入度$ID(v)$是以顶点v作为有向边的终点(弧头)
    • 出度$OD(v)$是以顶点v作为有向边的起点(弧尾)

相关性质

• 无向图中,n个顶点,e条边的无向图,$\sum _{i=1}^{n}TD(v_i)=2e$
  • 无向图的全部顶点的度数之和为边数2倍
  • 因为,每条边依赖于两个顶点,每一条都会为其两个断点各贡献一度
  • 因此,在统计边数的时候,每条边会贡献2度
    • 即,总度数是总边数的2倍
      • 至于顶点数n,我们不关心
• $有向图中TD(v_i)=ID(v_i)+OD(v_i)$
  • $并且有\sum _{i=1}^{n}ID(v_i)=\sum _{i=1}^{n}OD(v_i)=e$
  • 还是从统计(有向)边的角度考察
    • 每个有向边都分别为他的起点顶点贡献一个出度,以及为他的终点顶点贡献一个入度
    • 统计所有边,则得到有向图的顶点总入度和总出度相等(都等于边数e)

边的权

• 在一个图中,每条边都可以标注有含义的数值(类似于带权结点);数值称为权值

带全图(网)

• 边上带有权值的图称为带权图或者网

稀疏图&稠密图

• 边数相较于顶点数少的比较明显的图称为稀疏图(模糊概念)
  • $当|E|<|V|{\log }_2|V|$

路径相关

顶点间路径

• $顶点v_p到顶点v_q之间的一条路径是序列:v_p,v_{x_1},v_{x_2},v_{x_3},\cdots v_{x_m},v_{x_q}$

路径长度

• 路径上的边数就是路径长度

回路(环)

• 环是一种特殊路径:起点和终点一致的路径

有环的充分条件

• 顶点数为n,边数大于n-1的图一定带环
  • 前面对生成树的边数的分析结论表明,n个结点最多消耗n-1条边而不差生回路(或者重复边)

简单路径

• 路径序列中,顶点不重复出现的路径是简单路径

简单回路

• 如果一个回路(环)只有首尾结点重复,那么称为简单回路

顶点间距离(最短路径)

• 如果顶点u到顶点v存在最短路径,那么这个最短路径的长度就是顶点u,v的距离
• 如果不存在可达路径,则是距离记为无穷远$\infty$

森林/树/图

有向树

• 自定向下构造的树类似的形状
• 其中一个顶点的入度为0(相当于根结点)
• 其余顶点的入度为1
• 出度不做任何限制

树&图

• 树是可空的,但是图是不可空的

• 但从图形上看,树或森林总是有对应的图可以描述

• 森林中的k棵树犹如连通图断开k-1条边一样

• 如果某个无向图对应于一个森林(包含n个顶点/e条边)

  • 由树和图的性质

    • $树:nodes=edges+1$
    • $森林:node{s}_i=edge{s}_i+1;i=1,2,\cdots ,k$

  • $$\begin{gathered} n=\sum _{i=1}^{k}node{s}_i \\ e=\sum _{i=1}^{k}edge{s}_i \\ n=\sum _{i=1}^k(edge{s}_i+1)=\sum _{i=1}^{k}edge{s}_i+\sum _{i=1}^{k}1=e+k\ast 1=e+k \end{gathered}$$

  • $可见森林中的树的棵树k=n-e$